逆関数を利用した定積分の計算

質問

参考書の模範回答を読んでも分からなかったので質問します。

f(x)=log[{-1+√(1+4x)}/2]とおき、関数y=f(x)(x≧2)とその逆関数y=g(x)(x≧0)について考える
問1:g(x)をxの式で表せ
問2:a≧2のとき、∫[2,a]f(x)dx=af(a)=∫[0,f(a)]g(x)dxを示せ

問1は分かりました。
g(x)=e^(2x)+e^x(x)(x≧0)

問2について(模範回答より)
y=f(x)に対し、x=g(y)であるからdx=g'(y)dy
f(x)はx≧2に於いて増加関数である。
a≧2のとき、xとyの対応は次のようになる
x:2 --> a
y:0 --> f(a)

∫[2,a]f(x)dx
= ∫[0,f(a)]y*g'(y)dy
= [y*g(y)]_|y=0,f(a)|-∫[0,f(a)]g(y)dy
= f(a)*g(f(a))-∫[0,f(a)]g(y)dy　・・・(1)
= a*f(a)-∫[0,f(a)]g(x)dx ・・・(2)

なぜ(1)から(2)が導かれるのか教えてください。
(1)の∫[0,f(a)]g(y)dyが(2)の∫[0,f(a)]g(x)dxになるのは
おそらく「定積分は、関数の形と上端、下端の値で決まり、変数に取った文字には無関係」、つまり
「∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(t)dt」から導かれるのでしょうが(間違っていたら指摘してください)、
(1)のf(a)*g(f(a))が(2)のa*f(a)になるのが理解できません。
おねがいします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

問1
>問1は分かりました。
>g(x)=e^(2x)+e^x(x)(x≧0)
これは
g(x)=e^(2x)+e^x (x≧0)
のミスですね。

問2
>= f(a)*g(f(a))-∫[0,f(a)]g(y)dy　・・・(1)
>= a*f(a)-∫[0,f(a)]g(x)dx ・・・(2)

>なぜ(1)から(2)が導かれるのか教えてください。

>(1)の∫[0,f(a)]g(y)dyが(2)の∫[0,f(a)]g(x)dxになるのは
>おそらく「定積分は、関数の形と上端、下端の値で決まり、変数に取った文字には無関係」、つまり
>「∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(t)dt」から導かれるのでしょう

その通り、合っています。

>(1)のf(a)*g(f(a))が(2)のa*f(a)になるのが理解できません。

y=f(x)でx=aとおいたときのyをbとすると　b=f(a) ...(3) です。

y=f(x)の逆関数がy=g(x)です。
これはy=f(x)をxについて解くと　x=g(y) であることと同じです。

つまり、x=aのとき y=bなので　a=g(b) ...(4)

(3)のbを(4)に代入すると
　a=g(f(a)) ...(5)
となりますね。

したがって, (5)の左辺と右辺を入れ替えてから、両辺にf(a)を掛ければ

　f(a)*g(f(a))= f(a)*a

となります。
質問の「(1)から(2)が導かれる」ことが理解できたと思いますが、いかがですか？

お礼

丁寧な説明で、とてもよく分かりました。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

g が f の逆関数であるとは、
y=f(x) と x=g(y) が同値だということです。
よって、f の定義域内の任意の x について x = g(f(x))。
上の式から y を代入消去すると、こうなります。

これを使って、
f(a)*g(f(a)) = f(a)*a = a*f(a)。
これだけです。

ひょっとして、f(a) が a に、g(f(a)) が f(a) に対応
すると思ってしまったのではありませんか？

お礼

>>ひょっとして、f(a) が a に、g(f(a)) が f(a) に対応
>>すると思ってしまったのではありませんか？

まさにこの通りでした。
ありがとうございました。

回答No.1

endlessriver

「定積分は、関数の形と上端、下端の値で決まり、変数に取った文字には無関係」、つまり
「∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,b]f(t)dt」から導かれる」

でまちがいありません。

y=f(x)の逆関数はx=g(y)だから、前者を後者に代入して

x=g(y)=g(f(x))

となり、x=aとするとa=g(f(a))

お礼

ありがとうございました。