三角関数の証明問題

質問

私の学校ではもうすぐ試験があるのですが、以下の問題がどうも解けません。
三角形ABCにおいて
(1) sinA+sinB+sinC=4cos(A/2)×cos(B/2)×cos(C/2)
(2) tanA+tanB+tanC=tanA×tanB×tanC

これらの等式を証明せよ

一度に2つも質問してしまって申し訳ありません。一問づつでかまわないです。解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

どう解けないのか言ってもらえると的確なアドバイスができると思うんだけど…。

(1)(2)とも
和→積の公式
sin x + sin y = 2sin{(x+y)/2} cos{(x-y)/2}
cos x + cos y = 2cos{(x+y)/2} cos{(x-y)/2}

積→和の公式
sin a・sin b = 1/2{sin(a+b) + sin(a-b)}
cos a・cos b = 1/2{sin(a+b) - sin(a-b)}
を使って左辺を変形し、右辺に持っていきましょう。
これらの公式は加法定理
sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ - cosαsinβ
cos(α+β）＝cosαcosβ - sinαsinβ
cos(α-β）＝cosαcosβ + sinαsinβ
から導けます。（自分で導けるようになってね。）

あと(2)は　tanθ = sinθ/cosθ でsinとcosに直してから公式を適用ですね。

回答No.3

oshiete_goo

三角形ABCの話なので
A＋B＋C＝180°　（弧度法をやっていればπ）
から
C＝180°－(A＋B)
としてCを消してから
＃１さんのアドバイスのように書き換えて
最後にCに戻すのが良いでしょう．

(2)は直接tanの加法定理でいけます．

回答No.2

noname#3823

(1)A=π,B=C=π/2
(2)A=0,B=C=π/4

としてみてください。