三角関数の不等式の証明問題（できれば微分使わず数１２ＡＢの範囲で）お願いします。

質問

a+b+c=π/2
0<a,b,c<π/2

Sina + Sinb +Sinc≦3/2
を示せ。

お願いします。。。。

回答No.1

noname#108210 · ベストアンサー

sin(a) + sin(b) +sin(c)
=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)+sin(c)
=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)+cos(a+b)
=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2)+cos(2(a+b)/2)
≦2sin((a+b)/2)+cos(2(a+b)/2)

=2sin((a+b)/2)+1-2(sin((a+b)/2)^2)
=-2(sin((a+b)/2)^2)+2sin((a+b)/2)+1
=-2(sin((a+b)/2)-1/2)^2+3/2
これから，(a+b)/2=π/6　のとき，すなわち，a+b=π/3　のとき，
最大値 3/2

したがって，
sin(a) + sin(b) +sin(c)≦3/2
等号は，a=b=c=π/6　のとき。

回答No.4

B-juggler

この証明はちょっと面倒かもしれませんね。
三角関数の合成を使って、行くのが王道かと思います。
　＃三角形が実際にあるわけではないから、正弦定理使えないし＞＜
参考程度に、ちょっとこういうことでも。

Ａ＝Ｓｉｎ　ａ　，Ｂ＝Ｓｉｎ　ｂ，　Ｃ＝Ｓｉｎ　ｃ
としますね。　Ａ＋Ｂ＋Ｃ≦３／２　を示せばいい。
最大が３／２だというのはそんなに苦労無いと思います。

Ａが増えれば、ＢやＣは減りますね。他も同様。
　＃ここは、条件がつきますね　０＜Ａ，Ｂ，Ｃ＜１

とすれば、こんな風に考えてもいいのかな？
「３ｍのロープがあります。これを使って３角形を作ってください。
面積が最大になるのは、どういう形ですか？」

これは、１辺の長さ１の正三角形を作るのが一番大きいですよね。
ちょっと似ているような気がしませんか？

そこで、これも同じように考えて　Ａ＝Ｂ＝Ｃ　としてしまいます。
よって、ａ＝ｂ＝ｃ＝π/６　

Ａ＝Ｂ＝Ｃ＝１／２　ですね。
これが最大になるはずだ！　これは証明じゃないですが、
直感的に、感じられれば気持ちがいいかも？

この方法は、条件がそろわないとうまくいきません。
万能ではないので、注意してみてください。

関係のない蛇足みたいなものでした。

回答No.3

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3-2(sina+sinb+sinc)
=1+1+1-2(sina+sinb+sinc)
=(sina^2+cosa^2)+(sinb^2+cosb^2)+1-2(sina+sinb+sinc)
=(sina^2+cosa^2)+(sinb^2+cosb^2)+1-2(sina+sinb+cos(a+b))
=(sina^2+cosa^2)+(sinb^2+cosb^2)+1-2(sina+sinb+cosacosb-sinasinb)
=(sina+sinb)^2-2(sina+sinb)+1+(cosa-cosb)^2
=(sina+sinb-1)^2+(cosa-cosb)^2＞＝０
２つめの式から、ａ＝ｂ、よって１つめの式から、ａ＝ｂ＝π／６。

回答No.2

hugen

http://21.xmbs.jp/shindou-8788-n3.php?guid=on&no=75004&view=1&page=13