三角関数で三角形の形状と値を求める

質問

△ABCにおいてa=BC b=CA c=AB とする。
※　tanA/a＾2 = tanB/b＾2　の時、△ABCはどのような三角形か？
※　b=(a+c)/2 の時、△ABCに対して　tanA/2tanC/2 の値は？
の2問です。
ちなみに表記が合っているか不安ですので、読みを書きますと、上は（aの２乗ぶん　のタンジェントA）＝（bの２乗ぶん　のタンジェントB）

下は　b＝【２ぶんの（a+b)】　タンジェント【２分のA】　かける　タンジェント【２分のC】となってます。
たぶん因数分解の形まで持ってきてa=b とか　三平方へ持っていくんだとは思うんですが・・・よろしくお願いします。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞※　b=(a+c)/2 の時、△ABCに対して　tanA/2tanC/2 の値は？

正弦定理から、a＝2ＲsinＡ、b＝2ＲsinＢ、c＝2ＲsinＣを条件式に代入する。
Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）より、sinＢ＝sin（Ａ＋Ｃ）であるから、sin（Ａ＋Ｃ）＝sinＡ＋sinＣ。
4*sin（Ａ＋Ｃ）/2*cos（Ａ＋Ｃ）/2＝sin（Ａ＋Ｃ）/2*cos（Ａ-Ｃ）/2。
sin（Ａ＋Ｃ）/2≠0より、4*cos（Ａ＋Ｃ）/2＝cos（Ａ-Ｃ）/2。
簡単のために、Ａ/2＝α、Ｃ/2＝βとすると、4*cos（α＋β）＝cos（α-β）。
加法定理で展開すると、3*cosα*cosβ＝5sinα*sinβとなるから、tanα*tanβ＝tan（Ａ/2）*tan（Ｃ/2）＝3/5.

検算してね。

お礼

ありがとうございます。2行目以降は全くといっていいほど頭が回りませんでした。感謝いたします。体調を崩してしまって、ご挨拶が遅れましてすいませんでした。

回答No.1

info22

自分でやってみた解答の過程を補足に書いて下さい。そして分からない箇所だけ聞いてください。

ヒント）
(1)
余弦定理や正弦定理を使い、角度だけの式にするか、三辺だけに式にすればいいでしょう。
辺だけの式にすれば→(b-a)*(b+a)*(c^2-b^2-a^2)=0という式が出て
a=b または a^2+b^2=c^2（二等辺三角形　または　直角三角形）
が出て来ます。
各だけの式にすれば
∠A=∠B または ∠C＝90°（二等辺三角形　または　直角三角形）
が出て来ます。

(2)
正弦定理を使い、辺を消去して角度だけの式にして半角の公式を適用すればどうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。ベクトルとしてはあっていたのですね。計算力の不足でしょうか。もっと修練します。体調を崩してしまってご挨拶が遅れて申し訳ありませんでした。