三角比の等式の証明について

質問

三角比の等式の証明をしたいのですが、正弦定理や余弦定理を用いてとくようなのですが、うまくできません。
問題は、△ABCにおいて、次の等式が成り立つことを証明せよ。
(sinB-sinAcosC)/(sinC-sinAcosB)=sinC/sinB
というものです。
回答よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa · ベストアンサー

分母を払ったうえで、正弦定理により例えばsinB、sinCは
辺a、b、cとsinAで表し、cosB、cosCは余弦定理により
a、b、cで表せば、あとは単純な計算だけです。
自分でやってみましょう。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.6

alice_44

問題文中の無意味な句「△ABCにおいて」は、
「任意の△ABCにおいて」と解釈するのが普通
だから、分母≠0 に拘ることは、無理筋ではない。
しかし、慣習としては、
分母を払った式が任意の例で成り立てば、
0/0 についてはあまり五月蝿いことを言わない
のがお約束となっている。
ひとつ大人になって了解しようよ…ということ。

回答No.5

mister_moonlight

＃4の解釈は、おかしい。分母≠0は前提。
sinC-sinAcosB＝0　の時を問題にするが、それなら　例え自明であっても、sinB＝0　にも注釈が必要。
なぜ、それには触れないのか？

回答No.4

muturajcp

A=π/2=90°Aを直角とする直角3角形のとき
その式の分母=0
sinC-sinAcosB
=sin(π-(π/2)-B)-sin(π/2)cosB
=cosB-cosB
=0
となってしまうので
(sinB-sinAcosC)/(sinC-sinAcosB)=sinC/sinB
は成り立ちません

A+B+C=π

sinB-sinAcosC
=sin{π-(A+C)}-sinAcosC
=sin(A+C)-sinAcosC
=sinAcosC+cosAsinC-sinAcosC
=cosAsinC

sinC-sinAcosB
=sin{π-(A+B)}-sinAcosB
=sin(A+B)-sinAcosB
=sinAcosB+cosAsinB-sinAcosB
=cosAsinB

A≠π/2のとき

(sinB-sinAcosC)/(sinC-sinAcosB)
=cosAsinC/(cosAsinB)
=sinC/sinB

回答No.3

stomachman

こんなアプローチもあるよ、という話ですが、

　正弦定理より、α=BC/(sinA)とすれば、
　　BC=αsinA, CA=αsinB, AB=αsinC。
　さて、Bから辺ACへの垂線の足をDとすると
　　AD = AC-DC = AC-BC(cosC) = α(sinB-sinA cosC)
また、Cから辺ABへの垂線の足をEとすると、同様に、
　　AE=α(sinC-sinA cosB)
あとは「△ABCと△AEDは相似」を幾何で証明する。

回答No.1

ferien

問題は、△ABCにおいて、次の等式が成り立つことを証明せよ。
＞(sinB-sinAcosC)/(sinC-sinAcosB)=sinC/sinB
Ｂ＝π－（Ａ＋Ｃ）より、
sinＢ＝sin（π－（Ａ＋Ｃ））＝sin（Ａ＋Ｃ）
加法定理より
sin（Ａ＋Ｃ）＝sinＡcosＣ＋cosＡsinＣだから、
左辺の分子＝sin（Ａ＋Ｃ）－sinＡcosＣ
　　　　　＝cosＡsinＣ
Ｃ＝π－（Ａ＋Ｂ）より、
sinＣ＝sin（Ａ＋Ｂ）
加法定理より
sin（Ａ＋Ｂ）＝sinＡcosＢ＋cosＡsinＢだから、
左辺の分母＝sin（Ａ＋Ｂ）－sinＡcosＢ
　　　　　＝cosＡsinＢ
左辺＝cosＡsinＣ／cosＡsinＢ＝sinＣ／sinＢ＝右辺

でどうでしょうか？