三角関数

質問

△ABCにおいて、BC=a、CA=b、AB=cとするとき以下の条件を満たす三角形はどのような三角形か。

tanB/b２乗=tanC/c２乗

解けなくて困ってます。教えて下さい。

回答No.1

atkh404185 · ベストアンサー

tanB/b^2=tanC/c^2
c^2tanB=b^2tanC
c^2×(sinB/cosB)=b^2×(sinC/cosC)
c^2sinBcosC=b^2sinCcosB

△ＡＢＣの外接円の半径をＲとすると、
正弦定理、余弦定理より
c^2×(b/2R)×{(a^2+b^2-c^2)/(2ab)}=b^2×(c/2R)×{(c^2+a^2-b^2)/(2ca)}
これより
c^2(a^2+b^2-c^2)=b^2(c^2+a^2-b^2)
a^2c^2+b^2c^2-c^4=b^2c^2+a^2b^2-b^4
b^4-c^4-a^2b^2+a^2c^2=0
(b^2+c^2)(b^2-c^2)-a^2(b^2-c^2)=0
(b^2-c^2){(b^2+c^2-a^2)}=0
(b+c)(b-c)(b^2+c^2-a^2)=0
b+c>0　より
b-c=0　または　b^2+c^2-a^2=0

b-c=0　のとき
b=c　　（　⇦　二等辺三角形　）

b^2+c^2-a^2=0　のとき
a^2=b^2+c^2　（　⇦　直角三角形　）

したがって、
△ＡＢＣは
ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形
または
∠Ａ＝９０°の直角三角形
である。

となります。

お礼

わかりました！
ありがとうございました！