高校数学

質問

解き方を教えて下さい。
f(x)=-x^2+6x-4(a<x<a+1)の最大値と最小値を求めよ。

回答No.6

lialhyd

範囲の端はおそらく定義域に含まれていると思いますから、その前提で。
他の方が色々答えを書いていますから、一般的な「最大・最小問題の解き方」を書いておきます。

まず、最大にしても最小にしてもポイントは
「軸が、定義域に対してどこに位置するか」による場合わけを行うこと、です。

１）最大・最小のうち頂点が候補になるもの（下に凸のときの最小値、および上に凸のときの最大値）に関するわけ方
これは、以下の3パターンにわけます。
１．軸が定義域の左端よりもさらに左にある
２．軸が定義域の右端よりもさらに右にある
３．軸が定義域の中にある

２）最大・最小のうち頂点が候補にならないもの（下に凸のときの最大値、および上に凸のときの最小値）に関するわけ方
１．軸が、定義域のちょうど真ん中である
２．軸が、定義域のちょうど真ん中より左側にある
３．軸が、定義域のちょうど真ん中より右側にある

本問のように最大と最小のどちらも聞かれている場合は
これらを組み合わせますので、（最大で）合計５つに場合わけする必要があります。
あとは、その条件で実際にグラフを書いてみれば、最大・最小をとるときのxの値がわかりますね。

＞計算に自信なし、チェックしてみて。
自信がないなら「自信あり」としてはいかんでしょう。
質問者様はご自身であまりわからないから質問しているのではありませんか。

回答No.5

japaneseda

場合わけの基礎がやばし・・・

最大値だけの場合わけの問題
最小値だけの場合わけの問題

を、演習した後に　その問題を解きましょう！！！

あと、皆さん解説を詳しく書いてありますので、しっかり読んでください！

回答No.4

mister_moonlight

多分、f(x)＝-x^2+6x-4(a≦x≦a+1)の最大値と最小値を求めよ。の間違いだろう。

最大値をＭ、最小値をＮとする。
と、するとこの放物線は、f(x)＝-（x-3）＾2＋5　であるから、軸がx＝3で、頂点が（3、5）であり、この放物線自体は動かない。
動くのは、xの値の範囲である。従って、y＝f(x)＝-（x-3）＾2＋5　のグラフを書いてみて、xの値の範囲を動かすと良い。
a+1＞a　であるから、
(1)　a＜a+1≦3の場合
Ｍ＝f(a＋1)＝-a＾2＋4a＋1、Ｎ＝f(a)＝-a＾2＋6a-4
(2)　3≦a＜a+1の場合
Ｍ＝f(a)＝-a＾2＋6a-4、Ｎ＝f(a＋1)＝-a＾2＋4a＋1

問題は、a≦3≦a+1の場合である。
最大値Ｍ＝Ｍ＝f(3)＝5は問題ないだろう。問題は、最小値。
しかし、f(a＋1)とf(a)の小さい方が最小値になる事はグラフからわかるだろう。
従って、f(a＋1)-f(a)＝-2*（a-5/2）であるから
a-5/2≧0の時、f(a＋1)≦f(a)より、Ｎ＝f(a＋1)＝-a＾2＋4a＋1
a-5/2≦0の時、f(a＋1)≧f(a)より、Ｎ＝f(a)＝-a＾2＋6a-4

以上を纏めると
最大値
a≦2の時、Ｍ＝f(a＋1)＝-a＾2＋4a＋1
a≧3の時　Ｍ＝f(a)＝-a＾2＋6a-4
2≦a≦3の時、Ｍ＝f(3)＝5

最小値は
a≧3の時、Ｎ＝f(a＋1)＝-a＾2＋4a＋1
a≦2の時、Ｎ＝f(a)＝-a＾2＋6a-4
5/2≦a≦3の時、Ｎ＝f(a＋1)＝-a＾2＋4a＋1
2≦a≦5/2の時、Ｎ＝f(a)＝-a＾2＋6a-4

計算に自信なし、チェックしてみて。

回答No.3

info22_

最大値（赤線）M(a)、最小値（水線）L(a)と
（黒破線）y=f(x)=-x^2+6x-4=5-(x-3)^2
を図示して見ました。
この図を参考にし a≦x≦a+1の範囲の最大値、最小値がグラフどおりか
どうか確認して理解してください。

回答No.2

debut

変域にイコールが入っていないので、
２＜ａ＜３のとき、最大値５（ｘ＝３）　のみです。

イコールが入っているなら、
１．ａ＜２
２．２≦ａ＜５/２
３．５/２≦ａ＜３
４．３≦ａ
というような場合わけになるでしょうか。
放物線と、ｙ軸に平行な幅１の帯（左がａ，右がａ＋１）の左側の
場所を４通りに動かして考えてください。
最大値や最小値のとる位置がいろいろ変化していることが読み取れ
ます。

回答No.1

koko_u_u

グラフを書いて場合わけ