難しい数学の問題です(>_<)

質問

(1) F(a)(エフカッコエー)=∫((-2/3)a→(2/3)a) sin|x+(a/3)|sin |x-(a/3)|dx (a>0)を求めよ。

(2) 0＜a≦2πにおいて,F(a)(エフカッコエー)の最大値,最小値を求めよ。

わかる方いましたら、詳しく教えてもらえるとありがたいです。よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(1)
F(a)=∫[(-2/3)a→(2/3)a] sin|x+(a/3)|sin |x-(a/3)|dx (a>0)
=∫[-(2/3)a→-(1/3)a] sin(-x-(a/3))sin(-x+(a/3))dx
+∫[-(1/3)a→(1/3)a] sin(x+(a/3))sin(-x+(a/3))dx
+∫[(1/3)a→(2/3)a] sin(x+(a/3))sin(x-(a/3))dx
=2∫[(1/3)a→(2/3)a] sin(x+(a/3))sin(x-(a/3))dx
-2∫[0→(1/3)a] sin(x+(a/3))sin(x-(a/3))dx
=sin(2a/3)-(1/2)sin(4a/3) ...(答え)

(2)
F'(a)=(2/3){cos(2a/3)-cos(4a/3)}
=(2/3)(1-cos(2a/3))(2cos(2a/3)+1)
F'(a)=0より　cos(2a/3)=1 or cos(2a/3)=-1/2
増減表を描いて極値を求め最大値、最小値を求める。
(グラフを描くといいでしょう)
2a/3=2nπ,a=3nπ(n:自然数)のとき F(a)=0　これは極値ではない。
2a/3=2π/3+2nπ,a=π+3nπ(n:自然数)のとき
　最大値(極大値)F(a)=(3/4)√3 ...(答え)
2a/3=4π/3+2nπ,a=2π+3nπ(n:自然数)のとき
　最小値(極小値)F(a)=-(3/4)√3 ...(答え)

お礼

分かりやすい解説ありがとうございました!!御手数かけました(>_<)

回答No.1

stomachman

単にゴリゴリ計算するだけ。
1. 積分範囲を分けて、定積分の和に表し、それぞれの定積分の中では絶対値を使わないで済むようにする。
2. sin(-t) = -sin(t) と加法定理を使って、それぞれの定積分を整理する。
3. 定積分を計算する。

お礼

回答ありがとうございました!! 頑張って勉強致します(>_<)