高校の数学です。

質問

f(x)=x2-2ax+a+12(aは定数)がある。 -2≦x≦2…(1)を満たすすべてのxに対して、f(x)≧0となるaの値の範囲を求めよう。

(i)a<-2のとき、(1)におけるf(x)の最小値は(ア)a+(イウ)であるから、(1)を満たすすべてのxに対してf(x)≧0となるaの値の範囲は(エオカ)/(キ)≦a<(クケ)である。

(ii)-2≦a<(コ)のとき、(1)におけるf(x)の最小値は(サ)a2+a+(シス)であるから、(1)を満たすすべてのxに対して、f(x)≧0となるaの値の範囲は(セソ)≦a<(タ)である。

(iii)(コ)≦aのとき、(1)におけるf(x)の最小値は(チツ)a+(テト)であるから、(1)を満たすすべてのxに対してf(x)≧0となるaの値の範囲は(ナ)≦a≦(ニヌ)/(ネ)である。

(i)、(ii)、(iii)より、求めるaの値の範囲は(ノハヒ)/(フ)≦a≦(ヘホ)/(マ)である。

(ア)～(マ)を教えてください。
答えがないので誰か教えてください。
出来れば途中の考え方も教えてください。

回答No.1

jinbeef · ベストアンサー

xの２乗をx^2と表現させていただきます。まず
f(x)=x^2-2ax+a+12=(x-a)^2-a^2+a+12と変形しておきます。
(i)a<-2のとき、頂点(２次関数の曲線の先端部分)のx座標が-2より小さいので、
-2≦x≦2の範囲で、f(x)は増加し続けます。よって、f(x)はx=-2の時に
最小値f(-2)=4+4a+a+12=5a+16をとります。
(1)を満たすすべてのxに対してf(x)≧0となるためには、
この最小値が０以上、つまりf(-2)≧0であればいいので、
5a+16≧0 これよりa≧-16/5ですが、a<-2という前提条件があるので、
-16/5≦a<-2

(ii)もし頂点が-2≦x<2の中にある場合、必ず頂点が最小値をとる点となります。
その最小値は-a^2+a+12となります。
これは、どんな実数も２乗すれば正の値(+)になるから、
(ii)の場合において、f(x)は-a^2+a+12より大きくなる事はないからです。
この最小値が0以上、つまり-a^2+a+12≧0となれば良いので、まず両辺に(-1)を掛けて
a^2-a-12≦0 (a-4)(a+3)≦0 これより-3≦a≦4ですが、-2≦a<2という前提条件があるので、
-2≦a<2

(iii)2≦aのとき、頂点のx座標が2より大きいので、
-2≦x≦2の範囲で、f(x)は減少し続けます。よって、f(x)はx=2の時に
最小値f(2)=4-4a+a+12=-3a+16をとります。
(1)を満たすすべてのxに対してf(x)≧0となるためには、
この最小値が０以上、つまりf(2)≧0であればいいので、
-3a+16≧0 これよりa≦16/3ですが、2≦aという前提条件があるので、
2≦a≦16/3

(i)(ii)(iii)より、求めるaの範囲は(i)、(ii)、(iii)のどれかを満たせば(1)を満たすxについてf(x)≧0となるので、
-16/5≦a≦16/3

お礼

とても感謝してます。
ありがとうございます。