高校数学の問題

質問

これらの証明の仕方がわからないです。是非教えてほしいです。
(1)a>0,b>0,a^2-b^2=b-aならば、a=bであること。

(2)整式A,Bの最大公約数をG,最小公倍数をLとする。A,BをGで割った商をA’,B’とする。このとき、
（1）A’,B’は互いに素
（2）L=A’B’G
（3）AB=LG であること。

(3)整式f（x)がx-a,x-bで割り切れる。f(x)が（x-a
）（x-b）で割り切れること。

多いですが、わかるやつだけでも教えていただきたいです。お願いいたします。

回答No.3

asuncion

(2)は整数ではなくて「整式」ですか？

(3)
整式f(x)が(x - a)で割りきれるから、商をP(x)として
f(x) = (x - a)P(x) ... (1)
と表わせる。同様に整式f(x)が(x - b)で割り切れるから、商をQ(x)として
f(x) = (x - b)Q(x) ... (2)
と表わせる。
f(x)を(x - a)(x - b)という2次式で割ったときの商をR(x)とすると
f(x) = (x - a)(x - b)R(x) + sx + t ... (3)
と表わせる。2次式で割っているので、あまりは1次以下のsx + t（s, tは実数）。
(1)よりf(a) = 0だから、(3)よりf(a) = sa + t = 0 ... (4)
(2)よりf(b) = 0だから、(3)よりf(b) = sb + t = 0 ... (5)
(4) - (5)より、s(a - b) = 0
よってs = 0またはa = b
i)s = 0のとき
(4)(5)より0・a + t = 0かつ0・b + t = 0だからt = 0
このとき(3)でs = t = 0だから、f(x)は(x - a)(x - b)で割り切れる。
ii)a = bのとき
ここで行き詰まってしまいましたね。あとは先人の知恵を拝借することにしたいと思います。

補足

（2）は整式です。

（3）は、(4)(5)の式が出た時点で証明終了ではいけないのでしょうか？？これらの式で(3)はあまりがでないとわかると思ってしまうのですが、、

回答No.2

chachaboxx

a*a-b*b=b-a
a+a*a-b*b=b
a+a*a=b+b*b
故にa=b

お礼

簡潔にまとめてくださりありがとうございます！

回答No.1

asuncion

(1)
a > 0かつb > 0 ... (1)
a^2 - b^2 = b - a ... (2)
(2)より(a + b)(a - b) = b - a ... (3)
仮にa ≠ bとする。そうするとa - b ≠ 0だから、(3)の両辺を0でない数であるa - bで割ってよい。
a + b = -1 ... (4)
となるが、(1)よりaもbも正だから、(4)となることはありえない。
よってa ≠ bと仮定したことが誤りであることがわかったので、a = b

とりあえず時間の関係でここまで。

お礼

時間がない中、ご丁寧にありがとうございます！とても分かりやすく（1）理解することができました。本当にありがとうございます。