高1 数学

質問

a>0 とする。２次関数　f(x)=x²-2ax+a²＋2について

1.　x≧2におけるｆ（ｘ）の最小値が4であるようなaの値を求めなさい

2.　0≦x≦ 2におけるｆ（ｘ）の最大値と最小値の差が3であるようなaの値を求めなさい

解き方、わかりやすく教えてください。
お願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + 2
= (x - a)^2 - a^2 + a^2 + 2
= (x - a)^2 + 2
と平方完成する。頂点の座標は(a, 2)である。

小問1
x ≧ 2における最小値が4になるということは、
グラフの位置から見て、a < 2であり、f(2) = 4になるということである。
f(2) = (2 - a)^2 + 2 = 4
(2 - a)^2 = 2
a - 2 = ±√2
a = 2 ± √2
a < 2より、a = 2 - √2

小問2
i)a < 0のとき
最大値 = f(2) = (2 - a)^2 + 2
最小値 = f(0) = a^2 + 2
この差が3になるので、(2 - a)^2 - a^2 = 3
4 - 4a = 3
4a = 1, a = 1/4
a < 0を満たさないので、解ではない。
ii)0 ≦ a < 1のとき
最大値 = f(2) = (2 - a)^2 + 2
最小値 = f(a) = 2
この差が3になるので、(2 - a)^2 = 3
a - 2 = ±√3
a = 2 ± √3
0 ≦ a < 1より、a = 2 - √3
iii)1 ≦ a < 2のとき
最大値 = f(0) = a^2 + 2
最小値 = f(a) = 2
この差が3になるので、a^2 = 3
1 ≦ a < 2より、a = √3
iv)2 ≦ aのとき
最大値 = f(0) = a^2 + 2
最小値 = f(2) = (2 - a)^2 + 2
この差が3になるので、a^2 - (2 - a)^2 = 3
-4 + 4a = 3
4a = 7, a = 7/4
2 ≦ aを満たさないので、解ではない。
∴a = 2 - √3, √3

回答No.2

birth11

こんな図でどうでしょう。

お礼

ありがとうございます。私も、図を書いてみました。