高校数学 ２次関数

質問

aは定数とする、関数ｙ＝ｘ＾2－2ｘ（a≦ｘ≦a+1)の最大値、最小値を各場合について求めよ。
・1≦aの場合

この関数は増加するから
x=a+1で最大値a^2-1
最小値は自分ではa=1=xも考えられるから
最小値は－1だと思ったのですが解答は
x=aで最小値a^2-2aとなっています。
この定義域には頂点は含まれないのですか？
すいません、よろしくお願いします。

回答No.2

noname#21219 · ベストアンサー

まず、関数ｙ＝ｘ＾2－2ｘ=(x-1)^2-1というグラフ自体は
aとかxにかかわらず絶対に変わりません。

それで、a≦ｘ≦a+1という"長さ1の定規"を、その２次
関数に、ｘの範囲ごとにあてていき、各範囲において最大値、最小値を求めるというわけです。

1≦aの場合とあります。ですから、頂点より右半分の
区間a≦ｘ≦a+1における最大値、最小値は
それぞれx=a＋1,x=aのときです。

確かに、"aの範囲まで含めて"最小値を求めると、頂点になりますが、問題ではあくまで
『aは定数とする、関数ｙ＝ｘ＾2－2ｘ（a≦ｘ≦a+1)の最大値、最小値を求めよ』となっていますから
xの範囲はあくまでa≦x≦a＋1なのです。
aは定数ですから、このaは動かしてはならないのです。
1≦aの場合に、aの値が何であれ一般的にxの最小値が
何であるのか、問うているのです。そしてそれは
x=aで最小値a^2-2a、です。

回答No.1

noname#21327

定義域に頂点を含むのは、a=1の時です。a>1の時には頂点を外れます。
y=f(x)=x(x-2)のグラフはx=0,2を通る下に凸の放物線で、頂点は(1,-1)です。a>=1では単純に増加、a<=1では単純に減少ということです。
なので、一般解はa>=1のとき値域はf(a)<=y<=f(a+1)となります。