方向ベクトル

質問

２点、A（４．４．１）、B（－４．－８．－３）をとおる直線Lの方向ベクトルは、ABベクトル＝（－８．－１２．－４）と答えたのですが、
答えは、（２．３．１）でした。

－４で割ると答えと一致するのですが、方向ベクトルは割ってもいいんですか？　方向ベクトルの説明もふまえてよろしくお願いします。

回答No.3

proto

#1さんは『最もわかりやすい形』と書かれているが、『わかりやすい』かどうかなんて個人の主観にすぎない。
もし『最もわかりやすい形』とはどのようなものですか？と聞かれたら、「教科書の慣習に従ってくれ」としか答えようがない。
教科書の慣習に従う表記のみを正解とするなら、#1さんの答えは正しく正解だろうが。

個人的意見だが、(2,3,1)が正解なら(-8,-12,-4)も正解になるべきだし、(-8,-12,-4)が不正解なら(2,3,1)も不正解だ。

個人的には長さが1のベクトル、即ち直線Lと平行な単位ベクトルをもってきてLの方向ベクトルとしたい。
ベクトル(-8,-12,-4)の大きさは4√14だから、(-8,-12,-4)を4√14で割って、
　　(-2/√14,-3√14,-1/√14)
が答え。
または反対方向の単位ベクトルも考えられるから、
　　(2/√14,3√14,1/√14)
と答えても正解か。
蛇足になるが、どうしても分母の有理化をしたい場合には
　　((√14)/7,(3√14)/14,(√14)/14)
と答えることになるが、美しい解答ではないと思う。

なぜ単位ベクトルをもって答えとするか、説明を加えておこう。
単位ベクトル
　　e = (2/√14,3√14,1/√14)
を方向ベクトルと答えれば、直線Lに平行で長さが3のベクトルは？と聞かれたときに ±3e と答えられる。
方向ベクトルに求めるベクトルの長さを掛けるだけ。非常にシンプルであり有用である。

一方、方向ベクトルとして
　　d = (2,3,1)
を答えとすると、同じく直線Lに平行で長さが3のベクトルは？と聞かれたときに、
　　±3*d/|d| = ±(3/√14)d
と答えなければならない、この操作は煩雑であり、dを答えとする必然性が感じられない。

"方向ベクトル"の定義自体はどうなっているのかな？

回答No.2

info22

>方向ベクトルは割ってもいいんですか？
共通の数値で割ってもいいです。
割る目安として、
◆各成分の間の比が簡単な比になること、
　例　(2:-3:4),(1:2:√3),(2:√2:-1)
◆x成分が正になること、
例 (1:-2:-3),(4,3,-1),(√2:2√3:-1)
などが挙げられます。

回答No.1

oirne

（－８．－１２．－４）も（２．３．１）も内容は同じですが、
方向ベクトルは最もわかりやすい形で表すという約束事があるので、この場合は3つの最大公約数で割ってわかりやすくした（２．３．１）が正解です。

数学はコンピューター等ではなく人間が対象なのでわかりやすくしないと行けませんね。