方向ベクトル 接線の方程式

質問

(1)直線2x+y=0の方向ベクトルはk(a,b)である(kは任意の実数)。a,bの値を求めよという問題なのですが、どうすればいいでしょうか？

直線ax+by+c=0の方向ベクトルは、
(b, -a) または (-b, a)
を覚えるしかないのでしょうか？

(2)関数y=x^3-4x+8のグラフ上の、x=2に対応する点における接線の方程式を求めてください。

よろしくお願いします。

回答No.2

ryoryoryory · ベストアンサー

補足

＞直線ax+by+c=0の方向ベクトルは、
＞(b, -a) または (-b, a)
＞覚えるしかないのでしょうか？

直線を変形してみます。

y=-(a/b)x-c/b

この直線の傾きは、-a/bです。つまり、x方向にb増えればy方向に-a増えますし、x方向に-b増えればy方向にa増えることになります。方向ベクトルで考えるのであれば、この直線は、(b, -a)方向もしくは(-b, a)方向に変化しているとみてとれます。
傾きと方向ベクトルは対応しています。

では、実際に方向ベクトルであるかを確かめてみます。
直線の方向ベクトル(b,-a)と法線ベクトル(a,b)が直交していれば内積は0になるので、内積より

b・a+(-a)・b=ab-ab=0

となり、直線の方向ベクトルは(b,-a)であることがわかります。また、同様に(-b,a)もそうです。

＊法線ベクトルは直線に垂直なベクトルのことです。直線の傾きとそれに垂直な直線の傾きを掛けると、-1になる性質があります。つまり、-a/b・？=-1より、垂直な直線の傾きはb/aであることがわかります。よって法線ベクトルは(a,b)となります。

（１）上記のことを理解したうえで考えますと、方向ベクトルは、k(1,-2)もしくはk(-1,2)となります。
（２）y=f(x)とおきます。
接線の傾きは、もちろんf'(x)ですので、
f'(x)=3x^2-4
となります。
よって、f(x)上にある座標(a,b)における接線の式は、
y-b=(3a^2-4)(x-a)
とあらわされます。

x=2のときの接線の傾きは、f'(2)=3・2^2-4=8です。また、このときの座標は（2,8）です。
つまり、y-8=8(x-2)
よって、接線の方程式は、y=8x-8となります。

回答No.1

f272

(1)
方向ベクトルは直線上の2つの点がわかれば計算できる。
2x+y=0で
x=0のときy=0
x=1のときy=-2
つまり(0,0)と(1,-2)を通る直線だとわかった。
だから方向ベクトルは(1,-2)でいいよね。
(2)
y=x^3-4x+8にx=2を代入するとy=8になる。
y=x^3-4x+8をxで微分するとy'=3x^2-4だから，これにx=2を代入するとy'=8になる。
つまり(2,8)を通って傾きが8の直線になるわけだ。
その式はy=8(x-2)+8