ベクトル方程式について

質問

A(a→), B(b→), C(c→)とする。三角形ABCの中線AM(Mは辺BCの中点）のベクトル方程式を求めよ。

という問題について質問です。

ベクトル方程式の「異なる２点A(a→), B(b→)を通る直線は、p→(1-t)a→+tb→（tは媒介変数）」という公式を使ったところ、
何度解いても答えが間違ってしまいます；；

解き方としては、中点Mの位置ベクトルが(b→+c→)/2ですので、
求める直線上の点Pの位置ベクトルをp→とすると、

p→=(1-t)(b→+c→)/2+ta→=(b→+c→)/2-t{(b→+c→)/2-a→}
となってしまいます。

逆に、p→=(1-t)a→+t(b→+c→)/2としても、やはり答えと一致しません。。

答えはp→=(b→+c→)/2+t{(b→+c→)/2-a→}

となっています。↑の解き方の何がいけないのでしょうか？
どなたか教えてください。お願いします！

回答No.2

kkkk2222 · ベストアンサー

矢印なしで、ｐ、ａ，ｂ，ｃ，と書きます。

中点Mの位置ベクトルが（ｂ＋ｃ）/2
ｐ＝（１－ｔ）［（ｂ＋ｃ）/2］＋ｔａ　　　　　　　　　　　（＃Ａ）
＝［（ｂ＋ｃ）/2］ーｔ［（ｂ＋ｃ）/2］＋ｔａ・・・ＯＫ。
＝［（ｂ＋ｃ）/2］ーｔ［（（ｂ＋ｃ）/2）－ａ］　　　　　　（＃１）
此れで合ってます。

媒介変数は、＜ｔ＞を＜ーｔ’＞に置き換えても良いので。
Ｐ＝［（ｂ＋ｃ）/2］＋ｔ’［（（ｂ＋ｃ）/2）－ａ］　　　　（＃２）
で模範解答と一致します。

模範解答は、
ＯＰ＝ＯＭ＋ｔ（ＡＭ）として、
Ｐ＝［（ｂ＋ｃ）/2］＋ｔ［（（ｂ＋ｃ）/2）－ａ］としてあるだけです。

媒介変数表示は、色んな形になり、どれもＯＫです。

Ｐ＝ｔ［（ｂ＋ｃ）/2］＋（１－ｔ）ａ・・・から出発すると、（＃Ｂ）
＝ｔ［（（ｂ＋ｃ）/2）－ａ］＋ａ　　　　　　　　　　　　（＃３）
で正解です。

　　　ｔ＝ｔ’＋１　におきかえて、
＝（ｔ’＋１）［（（ｂ＋ｃ）/2）－ａ］＋ａ
＝［（（ｂ＋ｃ）/2）］＋ｔ’［（（ｂ＋ｃ）/2）－ａ］　と一致します。
（＃１）（＃２）（＃３）すべてＯＫで、
指定がなければ、（＃Ａ）（＃Ｂ）も正解です。

お礼

分かりやすいご説明ありがとうございます！
理解できました。本当にありがとうございした！

回答No.1

Mr_Holland

間違っていないと思います。

＞p→=(1-t)(b→+c→)/2+ta→=(b→+c→)/2-t{(b→+c→)/2-a→}
と
＞答えはp→=(b→+c→)/2+t{(b→+c→)/2-a→}
ですよね？
　媒介変数ｔの符号が違うだけですよね。
　ｔの取り方をｔ→－ｔ’などとすると一致することが分かると思います。
　ｔの取り方は任意なので、どちらも正しいと思いますよ。

お礼

ご回答ありがとうございます！
解決できました！ありがとうございます。