代数

質問

区間[0,∞)で定義される複素数値連続関数の集合をCとする。
(C,+,×)は零因子持つことを示したいのですが解法のほどをお願いします。

回答No.2

zk43 · ベストアンサー

[0,1]では0であり、(1,∞)では0でない連続関数f(x)と、
[0,1)では0でなく、[1,∞)では0である連続関数g(x)
を作れば、f(x)≠0、g(x)≠0であるが、f(x)g(x)=0
となる。
要するに、[0,∞)をいくつかの区間に分けて、各区間に
おいて、一方が0で、他方が0でないような2つの
連続関数f(x),g(x)を作れば良いのです。
例は無数に作れます。非可算無限個あります。

回答No.1

alice_38

それには、まず、
C の ＋ と × を定義しないと。

よくある
(f ＋ g)(x) = f(x) ＋ g(x)
(f × g)(x) = f(x) × g(x)
でよいのなら、
(x-1) + ｜x-1｜ と
(x-1) - ｜x-1｜ の積
などが例になるでしょう。