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初期値依存カオスの初歩的な質問
- 初期値依存カオスであっても、初期値ｘと、Lim Δx→０ ｘ＋Δx の結果は、同じと思っています。
- マンデルブロ集合において、点ｃが含まれるとします。すると、Lim Δ→０ ｃ＋Δ という点は含まれないです。
- 初期値依存カオスの関数は、初期値のずれで結果が違ってくるのが遠方だから、ランダムではなくカオス性があります。
- morimot703
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- 数学・算数
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C=(全複素数) M=(マンデルブロ集合)⊂C f:C→{0,1} x∈M→f(x)=1 x∈C-M→f(x)=0 と関数fを定義すると, f(1/4)=1≠0=lim_{Δx→+0}f((1/4)+Δx) f(-2)=1≠0=lim_{Δx→-0}f(-2+Δx) x<-2 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とすると z_1=x<-2 z_2=x^2+x=x(x+1)>2 z_3=x^2(x+1)^2+x=x{x(x+1)^2+1} z_3-z_2=x^2(x+1)^2-x^2=x^3(x+2)>8|x+2| あるk>1に対してz_{k+1}>z_k+8|x+2|>z_k>2を仮定すると z_{k+2}-z_{k+1} =(z_{k+1})^2-(z_k)^2 =(z_{k+1}-z_k)(z_{k+1}+z_k)>32|x+2|>8|x+2| z_{k+2}>z_{k+1}+8|x+2|>z_{k+1}>2 だからすべての自然数n>1に対して z_{n+1}>z_n+8|x+2|>z_n>2 ↓n≧2に対して z_{n+1}-z_2=Σ{k=2～n}(z_{k+1}-z_k)>8(n-1)|x+2| ↓n≧2に対して z_{n+1}=z_2+8(n-1)|x+2| ↓ ∀K>0に対して ∃n_0>max(K,K/|x+2|)+2 ∀n>n_0 →z_n=z_2+8(n-2)|x+2|>2+8|x+2|max(K,K/|x+2|)>K lim_{n→∞}z_n=∞ だから 任意の負実数Δ<0に対して (-2)+Δはマンデルブロ集合に含まれない -2≦x≦0 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とすると |z_0|≦|x| ある自然数k>0に対して|z_k|≦|x|を仮定すると x≦z_{k+1}=(z_k)^2+x≦x^2+x≦-x |z_{k+1}|≦|x| だからすべての自然数n>0に対して |z_n|≦|x| だから -2≦x≦0となる点xはマンデルブロ集合に含まれる |x|≦1/4 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とする |z_0|=0<1/2 あるkに対して|z_k|<1/2を仮定すると |z_{k+1}|=|{(z_k)^2}+x|≦|z_k|^2+(1/4)<1/2 だからすべての自然数n≧0に対して |z_n|<1/2 だから |x|≦1/4となるxはマンデルブロ集合に含まれる ∴-2≦x≦1/4となる点xはマンデルブロ集合に含まれる x>1/4 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+x とすると z_1=x>1/4>0=z_0 あるkに対してz_k>z_{k-1}≧0を仮定すると z_{k+1}-z_k =(z_k)^2-(z_{k-1})^2 =(z_k-z_{k-1})(z_k+z_{k-1})>0 z_{k+1}>z_k>0 {z_n}_{n∈N}は単調増加 xがマンデルブロ集合に含まれる仮定すると {z_n}_{n∈N}は有界単調増加だから収束するから lim_{n→∞}z_n=z とすると z^2+x=z (z-1/2)^2=(1/4)-x≧0 x≦1/4となってx>1/4に矛盾するから 任意の正実数Δ>0に対して (1/4)+Δはマンデルブロ集合に含まれない 実際に Δ=0.001 x=(1/4)+0.001 =0.251 z_0=0 z_{n+1}={(z_n)^2}+0.251 として z_nをExcelで計算してみると, z_2=0.314… … z_6=0.4… … z_{45}=0.5… … z_{86}=0.6… … z_{91}=0.7… z_{92}=0.74… z_{93}=0.8… z_{94}=0.895… z_{95}=1.05… z_{96}=1.3583… z_{97}=2.096… z_{98}=4.6… z_{99}=21.8… z_{100}=476.37… z_{101}=226930.268… z_{102}=51497346663 z_{103}=2.65198*10^{21} z_{104}=7.03298*10^{42} z_{105}=4.94628*10^{85} z_{106}=2.4466*10^{171} z_{107}=#NUM! となってオーバーフローが発生し 到底収束するなどとはいえないので, 0.251はマンデルブロ集合に含まれないのは明らか
その他の回答 (3)
－２≦ｘ≦１/４はM集合のようです。 －２、1/4は境界点のようです。 しかし、これはx軸上の話であって 複素数全体において、境界線が存在するかどうかは 未解決のようです。
補足
＞複素数全体において、境界線が存在するかどうか 以下を見ると、マンデルブロ集合は、閉集合とあります。 （ http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~kawahira/courses/mandel.pdf ） 系1.3 マンデルブロー集合M は複素平面C の閉集合である 閉集合なら、境界が存在するはず、 と思うのですが、誤解でしょうか？
０．２５が収束して、０．２５１が発散するとは 信じがたいが、そのExcelの計算は間違いありませんか？
- alice_44
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＞ 初期値依存カオスであっても、 ＞ 初期値ｘと、Lim Δx→０ ｘ＋Δx の結果は、同じと思っています。 間違いです。
お礼
間違いを指摘して頂き、ありがとうございます。 恐縮ですが、簡単な数式で 表せる例をお教え頂けませんでしょうか。
補足
以下の系なら、初期値ｘとｘ＋ε で、結果が異なることに、気づきました。 「壁で囲まれた中に、数本（５本以上？）の固い円筒が、玉が通る程度の間隔で密集している。 そこへ、固い玉を、ぶつける」 ある円筒に当たったところｘ’が、円筒のｒ以内なら、反射。 ｘ’が、ｒ＋ε なら、素通り
お礼
ありがとうござます。 実数軸上は（おそらく複素平面でも）、連結なのですね。 おかげで、誤解が解けました。 僕の目的は、定義域ｘのいたるところで、f(x)とf(x＋ε)が異なり、値が１と０のみである 白色雑音の関数を定義することです。 何かアドバイスがあれば、お教え下さい。