＊ε-δ＊

質問

問題(1)√(ｘ)は[０,＋∞)で連続であることを示せ。
問題(2)sinｘはＲで連続であることを示せ。

(proof)
(1)(ア)―――――自分の解法
　f(ｘ)=√(ｘ)とすると、f(ｘ)は開区間(０,＋∞)で連続。
　また、区間の左端ｘ＝０では右側連続
　　　　　∴連続となる。

　(イ)―――――参考書の解法のヒント
　任意の点ｃをとり、ｘ∈[０,＋∞)とする。lim(x→c)√(ｘ)＝√(ｃ)を示す。

(2)―――――参考書の解法のヒント
　lim(x→c)sinｘ＝sinｃを示す。
　｜sinｘ－sinｃ｜＝｜２cos(ｘ＋ｃ)/２*sin(ｘ－ｃ)/２｜≦２｜sin(ｘ－ｃ)/２｜
　ここで、｜θ｜≦π/２ならば｜sinθ｜≦｜θ｜であることを利用する。

自分でもやってみたんですが、上手く解けません。
参考書にヒントだけ書いてあったんですが、なかなか理解できなくて分かりませんでした。

誰か教えてください。よろしくお願いします！！

回答No.3

atushi256 · ベストアンサー

＜問１＞
関数f(x)がc∈[0,+∞)で連続とは「任意の正の微小量sに対し、正の微小量dが定義されて、|x-c|<dであるような任意のxに対して|f(x)-f(c)|<sとできる事」です。

（lim(x->c) f(x)=f(c)とはそれを簡単に書いたものです。でもlim(x->c) f(x)=f(c)だから連続と言ってしまう訳にはいきません。なぜならば「連続なので連続です」と言っていることになってしまうからです。上記の定義にあてはめて、愚直に示す必要があります。）

今f(x) = √xとすればいいわけで。c∈[0,+∞)において、正の微小量sが与えられた時に正の微小量dを適切に定義したら、|x-c|<dなる任意のxに対して|√x-√c|<sとなることを示せばいい。

問題はdをどのように定義するかです。

√xはその定義域において単調増加関数です。言い換えれば√x<√(x+d)です。両辺とも正の数ですので、二乗しても大小関係は変わりません。x<x+dですから、√x<√(x+d)です。

また√(x+d)<√x+√dです。両辺とも正の数ですので、やはり二乗しても大小関係は変わりません。x+d<x+d+2√x√dですから、√(x+d)<√x+√dです。

以上より|√x-√c|<|√(c+d)-√c|<|√c+√d-√c|=√d
d=s^2と定義すれば結局|√x-√c|<s

＜問２＞
ほとんど同じです。同じように考えてみてください。解法のヒントがもうほとんど答えになっています。

間違えてたらご勘弁を。

お礼

すみません、遅くなったのですが大変ありがとうございました！！

回答No.2

ujitaka

方針は良いと思います。(1)のアの前半のみ示します。
任意の正数εと(０,＋∞)にある任意のaをとります。あるδがあって
｜ｘ－a｜＜δ　を満たすｘに対して｜√ｘ－√a｜＜ε　を示せばいいわけです。δ＝ε・√a　ととります。
｜√ｘ－√a｜＝｜ｘ－a｜／(√ｘ＋√a)＜｜ｘ－a｜／√a
≦δ／√a＝ε
となり(０,＋∞)で連続となります。

回答No.1

Tacosan

(1) の方だけど, その解答では 0点でもしょうがないと思う. 「√x が (0, ∞) で連続」であることを証明しないと....
ところで, 「f(x) が x = c で連続である」ということを, ε-δで書けますか?