商写像の問題です。

質問

C:複素平面
商集合Y=C/～
射影p:C→Y
Yに商位相を入れる。

このときpは連続になるのはなぜですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

(連続の定義)
p:C→Y, VがYの開集合ならば、p^{-1}(V)がCの開集合となるとき
pは連続という。
(商位相の定義)
p:C→Yが射影のとき
Yの位相(Yの開集合族)を
D={V⊂Y,p^{-1}(V)開⊂C}と定義し,Dを商位相という
Yの部分集合Vで
p^{-1}(V)がCの開集合となるときVをYの開集合と定義する
射影pが連続となるようにYの商位相を定義するから

商位相の定義よりV∈D→p^{-1}(V)開⊂Cだからpは連続