実数全体をRとする。関数f:R→Rが連続であることの定義をε‐δ論法で

質問

実数全体をRとする。関数f:R→Rが連続であることの定義をε‐δ論法で書け。
次に、任意の連続関数f:R→Rと任意の開集合Bに対して集合f^(-1) (B)={a∈R|f(a)∈B}が開集合であることを証明せよ。
[注:Rの部分集合Aが開集合であるとは、任意のa∈Aに対して正の数εが存在して、開区間(a－ε,a＋ε)がAの部分集合となる時をいう。

回答No.1

muturajcp

連続定義(1)
f:R→R が連続(1)
←def→
∀B開⊂R→f^{-1}(B)={a∈R|f(a)∈R}開⊂R

連続定義(2)
f:R→R が連続(2)
←def→
∀a∈R,∀ε>0→∃δ(x∈R,|x-a|<δ→|f(x)-f(a)|<ε)

連続定義(2)→連続定義(1)
∀B開⊂R
a∈f^{-1}(B)
→
f(a)∈B
→
∃ε>0( (f(a)-ε,f(a)+ε)⊂B )
→∃δ(x∈R,|x-a|<δ→|f(x)-f(a)|<ε)
x∈(a-δ,a+δ)→|x-a|<δ→|f(x)-f(a)|<ε
→f(x)∈(f(a)-ε,f(a)+ε)⊂B
→x∈f^{-1}(B)
→(a-δ,a+δ)⊂f^{-1}(B)
→f^{-1}(B)開