C[a,b]の完備化

質問

閉区間[a,b]上の連続関数の全体をC[a,b]とします。

その元に対して内積を

　　　　<x,y>=∫x(t)y(t)-dt

と定義します。積分区間は[a,b]で、y(t)-はy(t)と複素共役なものとします。

このときC[a,b]は前ヒルベルト空間になり、その完備化がL^2[a,b]であることを示したいのですが。

前ヒルベルト空間であることは容易に分かるんですが、完備化のほうが分からないんです。どうか教えていただけないでしょうか？

回答No.1

adinat · ベストアンサー

概略だけ。
詳しくやるためにはもろにルベーグ積分論を使うと思います。

まずC[a,b]は内積から定まるノルムによってノルム空間になります。
（前ヒルベルトでもあります）
明らかにC[a,b]⊂L^2[a,b]です。
さらにL^2[a,b]はノルム空間（前ヒルベルト空間）で、かつ完備になります。
この完備性を示すのは、ちょっとした練習問題です。
ルベーグの収束定理を用います。
一般にL^p[a,b]は完備になります。（1≦p）
少し長い証明になりますので、
どなたかが教えてくださるかもしれませんし、
また余裕があれば説明したいとも思います。
が、申し訳ないですが、ここでは省略。

あとはL^2[a,b]∋fとすると、fがC[a,b]の元{f_n}で近似できればよいです。
そうすればL^2[a,b]の完備性からC[a,b]の完備化がL^2[a,b]になります。
問題はどうやってC[a,b]の元で近似するかです。
おおまかには次の手順でやります。

(1)まずfを単函数（階段函数）で近似する。
※これはfを実部、虚部にわけ、
さらにそれぞれを正の部分、負の部分にわけて、
そのそれぞれは非負可測函数になることから可能です。
(2)単函数は定義函数の有限一次結合です。
そこで定義函数（あるボレル集合の定義函数）を
それを含む開集合と、それに含まれるコンパクト集合で近似します。
すなわち、ある定義函数がBというボレル集合上の定義函数であるとき、
ある開集合Gとコンパクト集合Fをとってきて
F⊂B⊂G,かつμ(G-F)<εとなるようにします。
ただしμはルベーグ測度です。
こうしておくと、多様体論の一般論でよくやる1の近似で使われるように、
F上で1、Gの外で0に、G-Fで0以上1以下となる
滑らかな函数を取ってくることができます。
特に連続なのでC[a,b]の元だと思えます。
(3)上の議論から結局C[a,b]の元でL^2[a,b]の元は近似可能です。

なおワイエルストラスの多項式近似定理によって、
実は[a,b]上の多項式でも近似できます。

お礼

ありがとうございました。丁寧に説明していただきよく分かりました。