加法群

質問

閉区間［０，１］で連続な関数全体の集合をS_0とすると、(f+g)(x)=f(x)+g(x)という関係で関数の和を定義すれば、S_0は加法群となることを示せ。なんですが、教えてください。お願いしますm(__)m

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

まず演算について閉じていること
「連続関数の和は連続関数」は使ってもいいでしょう。

（１）単位元の存在
f(x)＝０　定数関数・・・これは連続関数

（２）逆元の存在
ｆ（ｘ）が連続関数なら-f(x)も連続関数

（３）結合法則
これも和なら成り立ちます。

補足

なるほど。ありがとうございました。ついでといっては何なんですが、次の事は示せれるのでしょうか？
f∈Sから実数Rへの写像f→∫_0~1f(x)dxは、S_0からRへの準同型写像である。
できればお願いしますm(__)m
（読みにくいかもしれませんが、インテグラル０から１です。）