何故これらの基底を見つけるのは困難?

質問

何故
C[0,1]:区間[0,1]での連続関数の集合
や
D(0,1):区間[0,1]での連続関数の集合
や
C^2(0,1):C^2級関数
や
C^3(0,1):C^3級関数
や
C^3(R):C^3級関数
や
Mtrx(n;R):n×n行列の集合
の基底
を見つけるのは困難なのでしょうか?

回答No.1

kabaokaba

>Mtrx(n;R):n×n行列の集合
これは簡単．R^{n^2} と同じだから，要素のうち1個だけ1で
残りは全部0の行列を全部集めればそれが基底

>C[0,1]，D(0,1)，C^2(0,1)，C^3(0,1)，C^3(R)
D(0,1)の定義が謎だけども（C[0,1]と同じになってる)
これらは「無限次元」，
それも自然数濃度よりも大きいから厄介．

有限次元の場合は構成的に基底の存在が示せるけども
無限次元の場合は，基底の存在証明には
Zornの補題を使うのが一般的で，
Zornの補題は選択公理と同値だから，
具体的に構築するのは望み薄．
＃たしか「無限次元ベクトル空間の基底の存在」そのものも
＃選択公理と同値だったはず．

関数の空間をもっと小さく，
コンパクトサポート急減少くらいだったかな，すれば
自然数濃度の基底が構築できたはずです．
関数解析の初歩の教科書，ヒルベルト空間とかのあたりの話で
載ってるのがあるはずです．