大学の数理論理学の問題です。

質問

大学の数理論理学の問題です。
（１）実数全体の集合Rを定義域にもつ実数値（real-valued）単調増加関数（monotonically increasing function）は不連続点を高々可算個しか持たないことを示せ。
（２）Rを定義域とする実数値単調増加関数の全体はちょうど連続濃度をもつことを示せ。
解答、解説よろしくお願いいたします。

回答No.2

tmpname

> 高々R^(N*3) = R の濃度しか持たない。
と書いてある所は、ちょっと用語が不親切なので、もうすこしだけきちんと書くと、

可算濃度をA, 連続濃度をCとかけば、Rを定義域とする実数値単調増加関数の全体は、高々
C^(A*3) = (2^A) * A = 2^(A*A) = 2^A =C の濃度しか持たない。

回答No.1

tmpname

(1)
Rを定義域にもつ実数値単調増加関数fについて、df(a):= f(a+0) - f(a-0)とおくと（このdf(a)は、今の場合必ず定義できる）、fがaで不連続⇔df(a) > 0

さて、整数m、正整数nに対し、
A<m,n> = {x∈(m-1, m+1) | df(x) > 1/n}とおくと、A<m,n>は高々有限個
（というのが、無限個存在すると仮定すると、任意の正整数Nに対して t1, t2, .... tN ∈ A<m,n>があって、
f(m+1) ≧ f(m-1) + df(t1) + df(t2) + ..... + df(tN) > f(m-1) + N/nとなって、Nは任意の正整数だから矛盾する。）
fの不連続点全体Aは、 A= ∪{mは整数全体、nは正整数全体｝A<m,n>で表されるから、高々可算である。

(2)
先ず、明らかに連続濃度以上である (aをある実数として f(x) = x+a を考えれば明らか）
一方、実数値関数の連続な点での値は、その点に収束するような点での値が与えられると、その値の極限で決まる。
従って、Rを定義域とする実数値単調増加関数fの各点での値は、

a. 全ての有理数における値
b. fの不連続点（の場所）
c. 各の不連続点における、fの値

が与えられれば、fは決定される。従って、Rを定義域とする実数値単調増加関数の全体は、高々R^(N*3) = R の濃度しか持たない。