応用代数の環に関する問題です。

質問

応用代数の環に関する問題です。

Ｒを区間[0,1]上で定義された実数値連続関数の全体とする。このとき、Ｒの任意の２元f, gに加法"+"と乗法"・"を
(f+g)(x)=f(x)+g(x) , (f・g)(x)=f(x)g(x) (∀ｘ∈[0,1])
で定義すると、Ｒは環となる。さらに、任意のｃ∈[0,1]を固定し、f(c)=0となるＲの元ｆの全体をＪｃとする。このとき、ＪｃはＲの極大イデアルとなることを示せ。
ただし、準同型定理と 「Ｉは極大イデアル⇔Ｒ／Ｉは体」を使ってよい。

この問題を教えてください。お願いします。

回答No.4

muturajcp · ベストアンサー

Jc={f|f(c)=0}
f,g∈Jc→f(c)+g(c)=0→f+g∈Jc
f∈R,g∈Jc→f(c)g(c)=0→f・g∈Jc
→Jcはイデアル
f∈R-Jc とすると
→f(c)≠0
0≦x≦1→h(x)=f(x)/f(c)-1
とすると
h(c)=f(c)/f(c)-1=0
→f・(1/f(c))-1=h∈Jc
1=f・(1/f(c))-h∈(f)+Jc=(fとJcが生成するイデアル)
∀g∈R→g=g・1∈(f)+Jc
→(f)+Jc=R
→Jcは極大イデアル

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

OurSQL

準同型定理については、忘れることとして、もっと大事なことが。

R の零元と単位元が具体的にどういう関数かは、質問者様ご自身、たぶん理解できていると思うのですけれど。
ただ、R／Jc の零元と単位元が具体的にどういうものか、きちんと分かっていますか。
そこがきちんと理解できているなら、あっさり解決すると思うのですが。

回答No.2

koko_u_u

>おそらくR/Jcが体を示せばよいと思うが

そりゃそうだ。ヒントにある通りですよね。

>Ｆをどう定義すればいいのか、Im(F)が体をどう証明すればいいのかもわかりません。

色々考えればわかります。
そもそも、このような一般的な状況の場合、選択肢は限られておりほぼ一択です。

回答No.1

koko_u_u

何がわからないのかをまず教えて下さい。

補足

方針がいまいちわからないです。おそらくR/Jcが体を示せばよいと思うが、そのためにはJc=Ker(F)となるような準同型写像Ｆを考えて、準同型定理でR/Ker(F)とIm(F)が同型ということを示し、Im(F)が体であると言えばいいと思いますが、Ｆをどう定義すればいいのか、Im(F)が体をどう証明すればいいのかもわかりません。もしかして方針が間違っているのでしょうか。
できれば証明の手順を教えていただければありがたいです。