いたる所微分可能で、導関数が連続でない関数は？

質問

ある開区間Iで微分可能な関数ｆでｆの導関数がIで連続でないようなｆはあるのでしょうか？
微積の教科書で、C（m）級関数の定義を言う時に、
「ｍ回微分可能で、ｍ次導関数が連続な関数」
という言い回しがあるのですが、
ｍ回微分可能なのに、ｍ次導関数が連続でないような例を発見できないので、
質問しました。

回答No.1

tmpname · ベストアンサー

例えば、実数体R上定義される関数fで、
f(x)= (x^2)・sin(1/x) (x≠0), 0 (x=0)
は、R上微分可能ですが、f'(x)はx=0で
不連続です。

お礼

ありがとうございます。
fがR全体で微分可能かつ、
導関数がx=0で不連続であることを確認しました。

回答No.2

noname#221368

Ｃ(ｍ)級の定義は、折れ線グラフのようなものをＣ(１)級と言わないためにある、と考えた方が良いと思います。このような場合は、区分的にＣ(１)級と、ちゃんと言いなさいと。

　ただこれには背景があって、区分区間が無限個だったらどうなるの？、という話です。じっさい、

　　いたるところ連続だが、いたるところ微分不可能．　　(1)

という関数の例があるからです。(1)のような変な関数は考えないよ、という宣言だと思って下さい。で、(1)の例は、自分より数学の得意な方々が、もうずぐ回答を付けてくれると思います(^^)。