二次関数 必ず通る点について

質問

f(x)=x^2-2ax+2a+3とする。ただし、aは実数である。
aの値がいくつであっても、ｙ＝ｆ（ｘ）のグラフが必ず通る点は（　　、　　）である。
→必ず通るのは頂点かなと思って求めてみたのですが、答えがちがうみたいで・・・。教えてください。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

2次関数に関わらず、定数を含む関数は定点を通ります。

定点の求め方は
1)定数：aを含む項と含まない項に分けます。
2)定数：aの係数＝０、定数項＝０として、x,yについて連立方程式を立て解きます。
このときの x,yが定点の座標になります。

いまの問題では、次のようにします。
1) y= x^2- 2ax+ 2a+ 3より (x^2- y + 3)+ a*(-2x+2)= 0
2) -2x+ 2= 0, x^2- y + 3= 0を連立させて解きます。

「x,y以外の定数が現れたときは、その定数について整理してみる」
いまのような問題でも、因数分解をするような問題でも
よく使われる方法なので覚えておくといいと思います。

お礼

すっごく分かりやすかったです！
定数項＝０としたら、定点が求まるんですね！
これで同じような問題が出ても、大丈夫☆
丁寧な回答、ありがとうございました。

回答No.5

mister_moonlight

簡単にいうと、ｙ＝x^2-2ax+2a+3　がaの恒等式であるためのxとyの条件を求めよ、という問題。

方法は1つだけではない。

任意のaについて成立するから、条件式にa＝1とa＝-1を代入してみる。
結果は、ｙ＝x^2-2x+5、ｙ＝x^2-2x+1　であるから、連立すると、x＝1、y＝4.

ところが、これは高々　a＝1とa＝-1に対して成立したに過ぎないから、全てのaについて成立する事を証明しなければならない。

x＝1、y＝4　を　ｙ＝x^2-2ax+2a+3　に代入すると、4＝1-2a＋2a＋3　となり全てのaについて成立するから、x＝1、y＝4　が求める答。

お礼

回答ありがとうございました。
aを求めるのではなく、ｘ、ｙの条件を求める問題だったんですね。
ポイントをつけられなくてすみません＞＿＜

回答No.3

nda23

x=0の所は？

回答No.2

cnocc

f(x)=x^2-2ax+2a+3
f(x)=a(-2x+2)+(x^2+3)
aの係数が０のとき、aに依存しなくなります
したがって
(-2x+2)=0
ｘ＝１
このときf(1)=4
よって(1,4)を必ず通る

お礼

シンプルで分かりやすかったです！
問題文だけをみて、パニックになってましたが、
解き方というか、考え方さえわかれば、納得できました☆
ありがとうございました！

回答No.1

himajin100000

f(x)=x^2-2ax+2a+3
右辺をaについてまとめる
f(x)=(-2x + 2)a + x^2 +3

-2x + 2 = 0のとき
x = 1
このとき
f(x)は常に1^2 + 3 = 4
となる。

答え(1,4)

お礼

すぐ回答を頂いてありがとうございました☆
ポイントをつけられなくて、すみません・・＞＿＜