二次関数

質問

放物線ｙ=a(x-α)(ｘ-β)のグラフは点(0，3)を通り、頂点の座標が(2，-5)である。このとき，定数aを求めよ。という問題なのですが，y=a(x-α)(x-β)を展開して，y=axの二乗－axβーaxα+aαβをy=a(x-？)の二乗+？の形にしたいのですけどやり方がわかりません。教えてください。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

(A二乗)=(A^2)

y=a(x-α)(ｘ-β)は指定されているのでしょうか。

y=ax^2+bx+c・・・・展開形(三点の座標が与えられたとき。）
y=a(x-p)^2+q・・・・頂点形(頂点の座標や軸が与えられたとき。）
y=a(x-α)(ｘ-β)・・・因数分解形(x軸との交点のが与えられたとき。）

何れの形もx^2の係数aは同じです。

>>頂点の座標が(2，-5)なんだから、初めから頂点形を使えば、
y=a(x-2)^2-5、
>>点(0，3)を通るので、これを代入し、
3=a(0-2)^2-5
3=4a-5　　よって、a=２
---
蛇足
因数分解形に直すと、
y=２(x-2)^2-5
　=２x^2-8x+3,
　　　　解の公式で、２x^2-8x+3=0　を解いて、
　　　　　　　　α={(4+√10)/2)},β= {(4-√10)/2}
　=２[ x - {(4+√10)/2)} ][ x - {(4-√10)/2} ]　...　　。

お礼

分かりやすく書いてくれて，ありがとうございます。

回答No.3

pascal3141

これを解くだけなら、頂点の座標が(2，-5)より、ｙ=a(x-2)~2－5から始める方が簡単です。これが点(0，3)を通ることでaがみつかります。

回答No.1

higekuman

「xの二乗」を「x^2」と表すことにします。

すると、y = a(x-α)(x-β) ⇒ y = ax^2 - aαx - aβx + aαβ となるのは、lila_lisztさんの計算どおりです。

これをさらに変形すると、y = ax^2 - a(α+β)x + aαβ になるのも解りますよね。

さて、y = ax^2 + bx + c を y = a(x-p)^2 + q の形にする方法はお解かりでしょうか？
これが解るのであれば、b を -a(α+β) に、c を aαβ に置き換えるだけです。

もし、y = ax^2 + bx + c を y = a(x-p)^2 + q の形にする方法が解らないようであれば、教科書や参考書を見るなり、先生や同級生などに聞くなりしてください。