部分積分

質問

∫x^3*e^(x^2)dxを部分分数で解きたいのですが、
与式=x^3*(1/(2x))e^(x^2)-∫3x^2*(x^2/2)e^(x^2)dx
=(x^2/2)e^(x^2)-∫(3/2)*x^4*e^(x^2)

と解いたのですが、ここからどのように解けば良いのでしょうか？

回答No.3

info22 · ベストアンサー

部分積分が間違っています。
途中計算を詳しく書いておきますので、フォローしてみてください。

与式=∫x^3*e^(x^2)dx
=∫{(x^2)/2}*(2x)*e^(x^2)dx
=∫{(x^2)/2}*{e^(x^2)}'dx
={(x^2)/2}*e^(x^2)-∫{(x^2)/2}'*e^(x^2)dx
={(x^2)/2}*e^(x^2)-∫x*e^(x^2)dx
={(x^2)/2}*e^(x^2)-(1/2)∫(2x)*e^(x^2)dx
=(1/2)(x^2)*e^(x^2)-(1/2)*e^(x^2)+C
=(1/2)(x^2 -1)e^(x^2)+C

お礼

わかりやすいので理解できました。
本当にありがとうございます。

回答No.4

naniwacchi

部分積分、置換積分、どちらでも計算できるということですね。

・部分積分
#2さんの回答がすべてですね。
g '(x)の式をもう少し変形することで、部分積分の式に当てはめることができます。
#3さんは、その計算を実行したまでです。

・置換積分
#1さんの言われているとおりで、eの指数を簡単にしてしまう（x^2を置き換え）することですっきりした式に置換できます。

おそらく「eの何乗」という形があるので、部分積分の方がよいと考えられたのかもしれません。
が、何乗が x^2と少し複雑な形をしているので、ここをなんとかしないといけません。
そこから責めていくと、置換積分が素直な方法かとも思います。
（問題文での誘導などによって変わってきますが）

お礼

そうなのですか。
まだ、置換積分を使う問題と部分積分を使う問題が区別しにくくて、戸惑っていました。
適切なアドバイスありがとうございます。

回答No.2

Ae610

f(x)＝x^2
g'(x)＝x・exp(x^2)　　('はxの微分、・は積を表すものとする)

とみて部分積分を行う

お礼

参考になりました。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

そもそもなぜ「部分積分で解きたい」と思ったんだろう.
普通は置換積分ですよね.

お礼

そうだったのですか。
まだ、使い分けがわからないので。
この様なアドバイスありがとうございます。