log や Tan^-1 などの部分積分について

質問

問題集を解いていますが、部分積分法で求めた時の途中式～答えまでの流れを教えてください。
お手数ですが、宜しくお願いします。どうやら逆関数や対数がでてくると、さらに苦手で、答えと一致しないので苦戦しております。

(1) ∫(1/e → e) log x dx

(2) ∫( e → e^2 ) (log x) ^2 dx

(3) ∫( 0 → 1/2 ) Sin^(-1) (x) dx

(4) ∫( 0 → 1 ) Tan^(-1) (x) dx

答え
(1) 2/e
(2) 2e^(2) - e
(3) (π/12 ) + (√3 / 2) - 1
(4) (π/4 ) - 1/2 log2

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)I=∫(1/e → e) log(x)dx
=∫(1/e → e) 1*log(x)dx
=[x*log(x)](1/e → e)-∫(1/e → e) x*(1/x)dx
=e-(1/e)log(1/e)-∫(1/e → e) 1 dx
=e+(1/e)-[x](1/e → e)
=e+(1/e)-e+(1/e)
=2/e

(2)I=∫(e → e^2)(log(x))^2 dx
=∫(e → e^2)1*(log(x))^2 dx
=[x*(log(x))^2](e→e^2)-∫(e→e^2)x*(2log(x))*(1/x)dx
=(e^2)*4-e-2∫(e→e^2)1*log(x)dx
=4(e^2)-e-2{[xlog(x)](e→e^2)-∫(e→e^2)x*(1/x)dx}
=4(e^2)-e-2{2(e^2)-e-∫(e→e^2)1 dx}
=e+2{(e^2)-e}
=2(e^2)-e

(3)I=∫(0→1/2) Sin^(-1)(x)dx
t=Sin^(-1)(x)(-π/2≦t≦π/2)とおくと sin(t)=x,
dx=cos(t)dt　より
I=∫(0→π/6) t*cos(t)dt
=[t*sin(t)](0→π/6)-∫(0→π/6)sin(t)dt
=(π/12)-[-cos(t)](0→π/6)
=(π/12)+(√3/2)-1

(4)I=∫(0→1) Tan^(-1)(x) dx
t=Tan^(-1)(x)とおくと x=tan(t)(-π/2<t<π/2)
dx=sec^2(t)dtより
I=∫(0→π/4) t*sec^2(t) dt
=[t*tan(t)](0→π/4)-∫(0→π/4) tan(t)dt
=(π/4)-∫(0→π/4) -(cos(t))'/cos(t)dt
(-π/2<t<π/2)よりcos(t)>0なので
I=(π/4)+[log(cos(t))](0→π/4)
=(π/4)+log(1/√2)-log(1)
=(π/4)-(1/2)log(2)

お礼

ありがとうございます。とくに(3)と(4)に苦戦しましたが、なんとか理解できました。自分でもとけるように頑張りたいと思います。なにしろ一人でやっていると分からない問題に遭遇したときに、先にすすまなくなるので、info22の説明には、助けられています。感謝です♪