部分積分法

質問

部分積分法にて解きましたが途中計算のどこかが間違っており答えにたどり着きませんでした。
ミスした箇所を教えていただけると嬉しいです。

∫x^(2) (e^x) dx

= x^(2) ・-e^(-x) - ∫2x・-e^(-x) dx
= -x^(2)・e^(-x) + 2∫xe^(-x) dx　　・・・(1)

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上記の式の∫xe^(-x) dx　について積分

∫xe^(-x) dx
= -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx
= -xe^(-x) + e^(-x) dx

これを(1)の部分に当てはめる
= -x^(2)・e^(-x) + 2{ -xe^(-x) + e^(-x) }
= -x^(2)・e^(-x) - 2xe^(-x) + 2e^(-x)
= -{x^(2) + 2x - 2 }e^(-x) + C 　　　 ←　答え

しかし解答は　

-{x^(2) + 2x + 2 }e^(-x) + C になります。私の回答とは　+2　と-2の違いなのですが、
どこから、差がでているのかがわかりませんでした。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

一行目は、∫(x^2)(e^-x)dx ですよね？

(1) は ok.
二回目の部分積分に問題があります。

= -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx
= -xe^(-x) + e^(-x) dx　　←この部分

= -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx
= -xe^(-x) + e^(-x)
と誤解したようですが、

正しくは
= -xe^(-x) - ∫-e^(-x) dx
= -xe^(-x) + ∫e^(-x) dx
= -xe^(-x) - e^(-x)
ですから、
ここで ± が違ったのでしょう。

お礼

ありがとうございます。非常に感謝しております。昨日から考えていたのですが、全く気づきませんでした。しまいには、答えが間違っているのでは～　なんて思ってしまうに至ってました。感謝いたします。