√とlogの積分

質問

∫√x*log(x+2)dxは部分分数で解けると思うのですが、
与式=2/3*x^(3/2)*log(x+2)-2/3*∫x^(3/2)*1/(x+2)dx
となり、後ろの積分をどのように解けばいいかわからないです。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

最初に√x = tと置換します。
このときx = t^2なので、dx/dt = 2tです。
よって

∫(√x)log(x+2)dx
= ∫2(t^2)log{(t^2) + 2}dt

と変形できます。
後は部分積分で答えが得られます。

途中、∫1/{ (t^2) + 2 }dtに出くわしますが、
これは1/2で因数分解して

∫1/{ (t^2) + 2 }dt
= (1/2)∫1/[ {(t^2)/2} + 1 ]dt
= (1/2)∫1/[ {(t/√2)^2} + 1 ]dt

と変形すればarctanの微分形に変形できます。

補足

∫2(t^2)log{(t^2) + 2}dt
=(2/3)*t^3*log(t^2+2)-2/3∫(t^3)/(t^2+2)dt
=(2/3)*t^3*log(t^2+2)-2/3∫(t-(2t/(t^2+2)))dt
と変形したのですが、∫1/{ (t^2) + 2 }dtに出くわせませんでした。
ここの変形はどうしたらよいのでしょう？

回答No.3

R_Earl

ANo.2です。

> =(2/3)*t^3*log(t^2+2)-2/3∫(t^3)/(t^2+2)dt
> =(2/3)*t^3*log(t^2+2)-2/3∫(t-(2t/(t^2+2)))dt

log(t^2+2)の微分が違います。
合成関数の微分なので、
「logの中身(t^2 + 2)をtで微分したもの」を最後にかける必要があります。
よって

{log(t^2+2)}'
= { 1/(t^2 + 2) }・(t^2 + 2)'
= { 1/(t^2 + 2) }・2t

となります。

お礼

ありがとうございます。
何とか解くことができました。

回答No.1

proto

x^(1/2)=tと置くと
　　x = t^2
　　dx = 2t*dt
　　∫{x^(3/2)*1/(x+2)}dx = ∫{(t^4)/(t^2+2)}dt
　　　　　　　　　　　　　= ∫{t^2-2 +4/(t^2+2)}dt
あとは、t^2-2と4/(t^2+2)を個別に積分すればよい。

お礼

参考になりました
ありがとうございます。