"無理数全体の集合から実数全体への全単射が存在する"の証明の説明をお願いします。

質問

次の問題の解答で分からないところがあるので説明をしてもらいたいです。

問:　無理数全体の集合からRへの全単射が存在することを証明せよ

解:　R－Q から R への全単射の存在を示せばよい
R－Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する
ここで Q は可算集合なので、A∪Q は可算集合
よって全単射 f: A→A∪Q が存在するので
関数 g:R－Q →Rを
　　　　g(x)＝ { x (x∈R－A)
　　　　　　　　〔 f(x) (x∈A)
と定義すると g は全単射である ■

最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。
よろしくおねがいします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

全射であること, 単射であることをそれぞれ地道に調べてください.
じっとみつめると, 意外に単純であることがわかりますよ.

回答No.2

arrysthmia

＞ 最後のところで、なぜgを上のように定義すると全単射になるのかがわかりません。

引っ掛かる箇所は、そこ？
g の定義式に従って、全射性と単射性を確認するだけ。
特に難しい事はない。

＞ R－Q は無限集合であるから、可算部分集合 A が存在する

のほうが、遥かにややこしい内容を含んでいる。