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実数の濃度(連続体濃度)についての問題の添削をおねがいします。対角線論法をつかってます。
問: 任意の写像 ｆ:N→R につき、ｆ は全単射でないことを背理法を使わず証明せよ 添削していただきたいのは上の問です 背理法に引っかかっていないのかどうかが自分には分かりません ＊のように、並べると――等とすることは可算集合であることを仮定することになってしまいませんか? 解答: 開区間(0,1)をとると 全単射 (0,1)→R x |→tan[π(x-1/2)] がつくれるので、(つくれてますか??) |(0,1)| = |R| よって、g:N→(0,1) が 全単射でないことを示せばよい 各実数 g(n) を10進法によって無限小数に展開して (ただし、有限小数も無限小数で表す) g(n) = 0.a(n1)a(n2)a(n3)… と表すとする ( a(ni)は0から9までの整数 ) 全て並べると……＊ g(1) = a(11)a(12)a(13)… g(2) = a(21)a(22)a(23)… g(3) = a(31)a(32)a(33)… … ここで a(11)≠b(1), a(22)≠b(2), … となる数列をとれば 0.b(1)b(2)b(3)… という実数は g(1), g(2), … のどれとも異なる 従って g(n) の値域に入らない実数があるため、 gは全射でない ■ よろしくおねがいします。
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なんか、ひっかかりますね。 >|(0,1)| = |R| >よって、g:N→(0,1) が 全単射でないことを示せばよい 本当ですか？ ＮからＲへの全単射が存在することの証明に、Ｎから(0,1)への 全単射の存在を示すことは有効でしょうけど、 ＮからＲへの全単射が存在しないことの証明に、Ｎから(0,1)への 全単射が存在しないことを示すことは本当に有効ですか？ こっそり背理法をつかってませんか？ －－－ ＮからＲへの全単射が存在するならば、Ｒ→(0,1)の全単射tan-1 によってＮ→（０，１）への全単射が存在する。 ところが、カクカクシカジカの理由によってＮ→（０，１）への全単射は 存在しない。以上よりＮからＲへの全単射は存在しない。 －－－ ってな感じで背理法使ってるんじゃ。。。 －－－ 小生が考えるにそもそも(0,1)なんて区間を考える必要はなくて、 f(n) = m.a(n1)a(n2)a(n3)… ←整数部は、「ｍ」です。負もありです。 （mは整数、 a(ni)は0から9までの整数 ) として、a(ii)が偶数→b(i)＝１ a(ii)が奇数→b(i)＝２ とb(n)を定義すれば、 0.b(1)b(2)b(3)… ←整数部は「０」になっています。 という実数は f(1), f(2), … のどれとも異なる・・・（以下略） としたほうが、余計なものがなくシンプル。
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- Tacosan
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いや, g(1), g(2), ... と列挙できるということは問題ないです. これは N が可算であることから OK. あと, R→(0, 1) が全単射でとれるということは, N→R と N→(0, 1) の間に 1対1 で対応がとれることも意味しますので, N→(0, 1) で考えたあとで N→R にしても直ちに「背理法」であるとは言えません. なので, 流れとしてはおかしくないです.
お礼
＞g(1), g(2), ... と列挙できるということは問題ないです. うわ。。。これについてはrinkunさんも述べてくれているのに、すいません。orz ＞流れとしてはおかしくないです つまり、無駄なことをやってるけど自分のでも問題ないということですよね。 でも無駄の無い方が安全そうなので、そっちでいこうと思います。 回答ありがとうございました。
- rinkun
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＊の箇所に関していえば、元々gがNからの写像なので可算で問題ないと思います。 むしろ > a(11)≠b(1), a(22)≠b(2), … > となる数列をとれば がどう取るか、取れるのかが分かりにくいです。 もっと具体的にbを定義してしまった方が分かりやすいと思います。
お礼
やはりマズかったですか。 参考になります、ありがとうございます。
お礼
なるほど、 どの本をみても Ｎから(0,1)等への写像をとっていたりしたのは、 全単射が存在することの証明だからだったのですね。 しないことの証明には必要ないと。 ＞こっそり背理法をつかってませんか？ そうですよね。 g(1) =…とすると、どう見ても番号つけて可算であることを仮定しちゃってますよね 模範な解答まで付けていただきありがとうございます。 勉強になりました。m(_ _)m