自身への写像が全単射となることの証明

質問

(1) 写像f:Ａ→Ａとする。Aが有限集合であるとき、写像fが単射ならばfは全単射である事を示せ。
(2) Aが無限集合であるとき、fは全単射か。そうであれば証明せよ。そうでないなら反例を示せ。

上の問題の(1)は以下のように考えました。
f(A) は A の部分集合。
f(A)≠A と仮定すると、A とその真部分集合との間に全単射が存在したことになる。これは、無限集合の定義であるため、有限集合は全単射である。

このような証明で十分なのでしょうか？また、上のように考えたのでAが無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。

わかる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

Aが有限集合のとき
Aの元の個数を|A|で表わす。
fが単射のとき、|f(A)|=|A|
fが全射ではないとすると、f(A)はAの真部分集合となるので、
|f(A)|<|A|
よって、|A|<|A|となり、矛盾が起こるので、fは全射である。

Aが無限集合のときは、Aの元の個数という概念が通用しないので、
上の議論は成り立たない。
Aとして、自然数全体の集合を考えると、f(n)=2nは単射ではあるが、
全射ではない。
f(A)は偶数全体の集合であるから。

これから、無限集合とは、自分自身の中への単射が存在する、
すなわち、全体と対等な真部分集合を含むような集合である
とも定義できる。

お礼

やはり私の証明は不完全だったようですね。
わざわざ証明まで記述していただき、ありがとうございました。

回答No.3

rabbit_cat

普通は、ディレクレの原理（鳩の巣原理）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%B3%A9%E3%81%AE%E5%B7%A3%E5%8E%9F%E7%90%86
を使って証明するんでしょう。

その証明は（ちょっと論理の飛躍があって完璧ではないですが）
つまり、「有限集合Ａは、その真部分集合との間に全単射をもたない」という事実を使っているわけですが、このこと自体が普通は証明の対象だと思います。
授業ですでにやったかなんで、この事実は証明なしで使ってかまわないっていうならＯＫでしょうが。

お礼

回答ありがとうございます。
一応講義で写像の範囲をやりましたが、「有限集合Ａは、その真部分集合との間に全単射をもたない」という証明は必要な気がします。やはり私の証明では不完全でしたね。

回答No.2

koko_u_u

>これは、無限集合の定義であるため

その定義を採用するとして、まずは「無限集合」を見つけねばなりませんね。

回答No.1

R_Earl

> 無限集合であるときはfは全単射ではないと思うのですが、反例が思いつきません。

Aを自然数の集合とした時、「Aの元を2倍にする」という写像は反例になりませんか？