数学の問題です。

質問

ｔ＞0　のとき次の微分方程式を解け。

　　　x` = e^ (-x/t) 　＋x/t +1

という問題で、答えが　　　C＞0　として　　　x = t log (Ｃｔ　- 1 )　　(Ｃは任意定数)

です。お手数おかけしますがお願いします。

回答No.1

c_850871 · ベストアンサー

x/t=u
とすると

x=ut
なので
x'=u't+u
ですから

u't+u=e^(-u)+u+1
⇔u't=e^(-u)+1
変数分離すると

du/{e^(-u) + 1}=dt/t
辺々積分して

u + log{1+e^(-u)}=logt + C
これより
log{e^(x/t)} + log{1 + e^(-x/t)}=e^C ・t
なので

e^(x/t){1 + e^(-x/t)}=e^C ・t
ここでe^Cを改めてCとおくと

e^(x/t) + 1=Ct
⇔e^(x/t)=Ct - 1
対数をとって

x/t=log(Ct - 1)

従って

x=tlog(Ct - 1)…(答え)

が得られます．

補足

du/{e^(-u) + 1}=dt/t　　を辺々積分して

　　u + log{1+e^(-u)}=logt + C

これより

log{e^(x/t)} + log{1 + e^(-x/t)}=e^C ・t

となる手順がよくわかりませんそこの部分の解説を詳しくお願いします。

回答No.2

ferien

ANo.1さんと方針は同じですが、積分のところが少し違います。

＞ｔ＞0　のとき次の微分方程式を解け。
＞　　　x` = e^ (-x/t) 　＋x/t +1

ｕ＝ｘ／ｔ　とおくと、ｘ＝ｔｕ，ｘ'＝ｕ＋ｔ(du/dt）より、もとの式に代入して、
ｕ＋ｔ(du/dt）＝ｅ^(-u)＋ｕ＋１
ｔ(du/dt)＝ｅ^(-u)＋１
｛１／（ｅ^(-u)＋１）｝ｄｕ＝ｄｔ／ｔ
ｅ^(-u)＋１＝（１＋ｅ^u）／ｅ^uだから、
｛ｅ^u／（１＋ｅ^u）｝ｄｕ＝ｄｔ／ｔ
両辺を積分すると、
∫｛ｅ^u／（１＋ｅ^u）｝ｄｕ＝∫ｄｔ／ｔ
（１＋ｅ^u）'＝ｅ^uより、
左辺＝∫｛（１＋ｅ^u）'／（１＋ｅ^u）｝ｄｕ
＝log（１＋ｅ^u）
ｔ＞０より、
log（１＋ｅ^u）＝logｔ＋Ｃ
　　　　　　　　＝logｔ＋logｅ^C
　　　　　　　　＝log（ｔ・ｅ^c）だから、
１＋ｅ^u＝ｔ・ｅ^c
ｅ^c＝Ｃとおくと、Ｃ＞０
ｅ^u＝Ｃｔ－１
ｕ＝log（Ｃｔ－１）
ｘ／ｔ＝log（Ｃｔ－１）
から、答えになります。