応用数学、熱伝導方程式について

質問

大学でこのような問題がでたのですが、解き方や考え方を教えて下さい。
問、次の方程式の解を求めよ。

∂u/∂t = 2 ((∂^2 u)/ (∂x^2))・・・(1) (0＜x＜2, t>0)
u(0,t)=u(2,t)=0・・・(2), u(x,0)=5 sin 2πx - 3 sin 5πx・・・(3)

以下は自分でといた過程です。

(1)より
X(x)*T'(t)=2*X"(x)*T(t)
T'(t)/T(t) = 2X"(x)/X(x)=Κと置く。
これより
T' - ΚT=0・・・(4)
2X" - ΚX = 0・・・(5)
(Κ<0)

(5)の解はΚ<0より
X = A cos(√(-Κ/2))x +B sin(√(-Κ/2))x ・・・(6)(A,Bは任意定数)
境界条件(2)より
X(0)=X(2)=0・・・(7) (T(t)は0ではない)
よって(6)、(7)より
A =0,
Κ= -(n^2*π^2)/2
X=B sin(nπ/√2)x

(4)よりT' = ΚT
　　　↓
T = D e ^(-(n^2 * π^2)/2)t (Dは任意定数)

次に偏微分方程式の解を求める。
→ここから先が全くわかりません。

正しい答えは5e^(-8(π^2)t)2πx - 3e^(-50(π^2)t)sin5πxになります。

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

境界条件から、tを固定するとuをxについての周期2の周期関数の
[0,2]への制限とみることができるので、フーリエ級数を使って処理
するのがいいと思います。

u(x,t)=Σ[n=0→∞]c_n(t)e^(inπx)

とおいて、方程式に当てはめて係数（tの関数）を計算してみてください。

お礼

ありがとうございます！
よく考えたらできました

回答No.2

noname#199771

訂正です。失礼しました。

u(x,t)=Σ[n=0→∞]c_n(t)e^(inπx)
↓
u(x,t)=Σ[n=-∞→∞]c_n(t)e^(inπx)