特性方程式と差分方程式

質問

こんにちわ。早速ですが質問させていただきます。

現在数学で特性方程式と差分方程式を独学で学んでいるのですが、
どうも言葉が違うのかキーワードが違うのかジャンルが違うのか、デジタル機器や物理、図形に飛んでしまい、果てには差分微分方程式がひっかかってしまったりと、なかなかピンポイントに引っかかりませんでしたので、こちらにやってきました。
大学１年の問題だと思われますが、こちらに書き込むことによって不正にはならないと予め確認してありますのでご安心ください。

たぶん、特性方程式を使った差分方程式だと思います。

以下がその式（私が立てましたが完全に理解してはいないと思います）で、Ｐｋについて求めます。

Pk = 2/6Pk+1 + 4/6Pk-1
2/6Pk+1 + 4/6Pk-1 - Pk = 0
2Pk+1 + 4Pk-1 - 6Pk = 0

（特性方程式を使うようですが、なぜ使うのかはわかりません。取り合えず参考書にのっとり、tに置き換えます）

2t2 - 6t + 4 = 0
t2 - 3t + 2 = 0
(t-1)(t-2)

t=1,2

Pk=C・ak + D・bk　により（なぜこれが出てくるのかもよくわかりません）
Pk = C ・ 1k + D ・ 2k

CとDは定数であり（なぜでしょう？）、
P0 = 0 かつ Pm+n=1 であるために、ＣとＤが求められ、
それによりPkが求められるそうです

なお、教科書は該当箇所を読んであります。
数学事典には特性方程式、差分方程式という言葉さえ出てきませんでした。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

「整数になってしまい」の意図が判りませんが…

漸化式が P[k]=(2/6)P[k+1]+(4/6)P[k-1] なら、
特性方程式は t=(2/6)(tの2乗)+(4/6)、
特性根は t=1, 2 で間違いありません。
t が整数でも、何も不都合はないです。

C, D を決める条件が P[0]=0, P[n+m]=1 であれば、
代入して C+D=0, C+D(2のn+m乗)=1 を解けばよく、
C=-D, D=1/(-1+(2のn+m乗)) と解ります。
この C, D を使って、一般項は
P[k]=(-1+(2のk乗))/(-1+(2のn+m乗)) です。
この場合、n, m は定数でないといけません。
k=m を代入すれば、P[m] が求まります。

回答No.3

noname#221368

定数係数の線形差分方程式や線形微分方程式の特性方程式については、けっこう難しい議論もできるようなのですが、ここでは初等的に行きます。以下は遠山啓の数学入門に載っている、定数係数線形微分方程式の特性方程式の説明の焼き直しです。

　差分演算子Dを、次の(1)で定義します。a[n]は数列のn項目を表しますが、(1)の意味は、単に右辺を左辺のように表す、と決めただけです。

　　D(a[n])＝a[n+1]－a[n]　　　　(1)

　さらに次は、気づいたもの勝ちなんですが、α≠0を定数とし(1)のもとで、

　　α^(n+1)・Ｄ(α^(-n)・a[n])＝α^(n+1)・(α^(-(n+1))・a[n+1]－α^(-n)・a[n])＝a[n+1]－α・a[n]　　　　　(2)

が得られます。ここで例えば、差分方程式（漸化式）、

　　a[n+1]－p・a[n]＝0　　　　　　(3)

が与えられていた、とします。p≠0は定数とします。(3)は等比数列なので、普通の方法で解けますが、(2)の再右辺を見ると、同じ形なのがわかります。よってα＝pとおけば、(2)より、

　　p^(n+1)・Ｄ(p^(-n)・a[n])＝0

です。p≠0は定数なので、両辺をp^(n+1)で割ると、

　　Ｄ(p^(-n)・a[n])＝0　　　　　　(4)

です。ここでＤの意味は(1)より、数列　b[n]＝p^(-n)・a[n]　の公差です。(4)より公差は0なので、b[n]は定数の数列です。その定数をＡとすると、

　　p^(-n)・a[n]＝Ａ　　　　　　　　(5)

なので、

　　a[n]＝Ａ・p^n　　　　　　　　　　(6)

と、けっこう効率良く解が求まります。未定乗数Ａは、(3)に付随するであろう初期条件、a[0]の具体的値から決めれば良い事になります。このとき(3)の特性方程式は、

　t－p＝0　　　　　　　　　　　　　　(7)

になります。

　ここまでは(3)を解くために、ちょっとカッコつけた表現を用いた、というだけですが、問題は(2)を2回使ったらどうなるか？、です。α≠0，β≠0，α≠βとして、

　　β^(n+1)・Ｄ(β^(-n)・(α^(n+1)・Ｄ(α^(-n)・a[n])))＝a[n+2]－(α＋β)・a[n+1]＋αβ・a[n]　　　　　　(8)

になります。()の数が多くて煩雑ですが、(2)を2回繰り返して用いただけです。ここで差分方程式、

　　a[n+2]＋p・a[n+1]＋q・a[n]＝0　　　　　　(9)

が与えられていた、とします。p，qは定数です。(8)と(9)を比べると、

　　α＋β＝－p
　　αβ＝q　　　　　　　　　　　(10)

を満たすように、α，βを選んでおけば、(9)の解を得るためには、

　　β^(n+1)・Ｄ(β^(-n)・(α^(n+1)・Ｄ(α^(-n)・a[n])))＝0　　　　(11)

を解けば良いのがわかります。最初のＤについては、さっきと同じように、

　　Ｄ(α^(-n)・a[n])＝Ｂ・(β/α)^n　　　　　　　　　　　　　　　　(12)

の形になります。Ｂは未定乗数です。(12)は、公差(β/α)^nの数列を表すので、等比数列の和の公式を適用し、

　　a[n]＝Ａ・α^n＋Ｂ・β^n　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13)

の形を導けます（実際に手を動かすと、すぐわかります）。Ａも未定乗数です。

　(11)を解く事は、(9)を解く事と同じなので、Ａ，Ｂは(9)の2つの初期条件（a[1]とa[0]の値）から決められます。後は、αとβの決定です。それは(10)と解く事に帰着します。ところが(10)は、2次方程式の解と係数の関係になっていて、αとβは、

　　t^2＋p・t＋q＝0　　　　　　(14)

の解です。(14)と(9)を比較してみて下さい。

　(14)と(9)の形が一致するのは偶然ではなく、ｍ次の定数係数線形差分方程式（(ｍ＋1)項間の定数係数線形漸化式）に対して、(8)に相当するものを考えると、α，β，γ，・・・の決定方程式は、ｍ次方程式の解と係数の関係を満たし、特性方程式は、a[n+m]をt^mで置き換えた、ｍ次方程式になる事を、帰納法で証明できます。

　以上が初等的に説明した、特性方程式の正体です。

お礼

ありがとうございます。
しかし少々言葉が難しすぎて理解できません。１４と９も一致しているように見えません。
記号の読み取り方がだめなんでしょうか？

回答No.2

alice_44

「差分方程式 特性方程式」で探すよりも
「漸化式 特性方程式」で探すほうが、
文献は見つかりそうな気がします。
何故って？ 単に慣習上の都合ですよ。

質問の式は、差分方程式の中でも「線型漸化式」
と呼ばれるもののひとつです。
線型漸化式の特徴は、解の線型結合が
やはり解になっていることにあります。
A[n] = (2/6)A[n+1] + (4/6)A[n-1],
B[n] = (2/6)B[n+1] + (4/6)B[n-1]
が成り立っているとき、
P[n] = C A[n] + D B[n] (C,Dは定数)と置けば
P[n] = (2/6)P[n+1] + (4/6)P[n-1]
が成り立つことを、計算で確認して下さい。
C,D を適切に選べば、P[ ] の初期値を
与えられた条件に合わせることができます。

そのために使う A[ ],B[ ] の例として、
等比数列であるものを探すために、
tのn乗 = (2/6)(tのn+1乗) + (4/6)(tのn-1)
を満たす t を探すのです。
両辺を tのn-1乗 で割れば、
件の「特性方程式」になります。

お礼

ありがとうございます。それらしいページを見つけることができました。
…できたのですが、その通りに計算すると整数になってしまい、テキストにあいません。
テキストは穴埋め形式で、

C＝－?/?かつD=?/?
よってPk=?/?
掛け金はmなので、勝率は
Pm=?/?

と、このように分数になっています。
P0=0,Pm+n=1とありますので、１より小さい数が答えなのだとは思うのですが…。

回答No.1

Tacosan

「『デジタル機器』に飛ぶ」というのは, 「引っかからない」とまでは言えないんだけど.... デジタル信号処理 (の中のデジタルフィルタ) では処理を差分方程式で書きますし.

さておき, とりあえず
http://okwave.jp/qa/q7394563.html
を読んでみるとなんとなくわかるかも. あっちでは「漸化式」だけど, 「差分方程式」と読み替えてもストーリーは全く同じ. もしくは z変換に突き進むとか.

この辺は微分方程式との類似性があるところなのでそっちが分かっていればそれほど難しくはない, かもしれません.

補足

ありがとうございます。申し訳ないのですが、読んでみましたが全くわかりません。
微分積分は基礎を高校のとき１回授業で聞いたっきりです。

そもそもなぜ、Pkを求めるのに特性方程式を使うのか、Pk=C・ak+D・bkだけではだめなのかもわからないのです。
教科書でも、全く何の前置きもなく突然公式が出てきて、なぜそのようになるのかも理解できません。読み進めると別の単元になってしまいました。