複素数の範囲での微分方程式について

質問

z = z(t):R1→Cに関する微分方程式
　m(d/dt)(dz/dt) + kz = 0
について、初期条件
　t = 0:z = z0 , dz/dt = z0'
を満たす解ってどうやって求めればいいんでしょうか？
実数の範囲での考え方と同じ解き方でいいんでしょうか。

特性方程式
　mp^2 + k = 0
を解くと、
　p^2 = -k/m
より、特性解は
　p = sqrt(k/m)i
よって一般解は
　z(t) = C1e^sqrt(k/m)it + C2e^{-sqrt(k/m)it}
また
　z(t)/dt = sqrt(k/m)iC1e^sqrt(k/m)it - sqrt(k/m)iC2e^{-sqrt(k/m)it}
ここで、z(0) = z0より
　C1 + C2 = z0
また(dz/dt)(0) = z0'より
　sqrt(k/m)i(C1 - C2) = z0'
　C1 - C2 = z0'/sqrt(k/m)i
よって、
　C1 = {z0 + z0'/sqrt(k/m)i}/2
　C2 = {z0 - z0'/sqrt(k/m)i}/2
よって、
　z(t)
= (1/2)[{z0 + z0'/sqrt(k/m)i}e^sqrt(k/m)it
　+ {z0 - z0'/sqrt(k/m)i}e^{-sqrt(k/m)it}]

こうですか？わかりません！
z-平面における解曲線が一般的に楕円となるらしいんですが・・。

宜しくお願いします。

回答No.3

metzner · ベストアンサー

#2です。補足しておきます。
「特性方程式をといてなぜ微分方程式の解が分るのか」の原理(導出)を理解しておけば、複素数値関数の場合にも使えることが理解できるとおもいます。
結論として、質問者さんのやり方でまったくもって問題ないということです。

お礼

実数値の時に例えばx=exp(αt)とおけばいいとかいうのは
覚えていたんですが、どうもあまり理解出来ていなかったようですね。

勉強します。ありがとうございます。

回答No.2

metzner

質問者さんの解法でなんら問題はないのではないでしょうか? ご解答で楕円軌道になっていますし。。どこが問題なのでしょうか?

お礼

z(t) = c1 exp(αi t) + c2 exp(-αi t)
という解は、実数での表現を
(c1 + c2) cos(αt) + (c1-c2) sin(αt) i
= x(t) + y(t) i
と見ると
c1 + c2 ≠ 0
c1 - c2 ≠ 0
であれば
{x(t)/(c1+c2)}^2 + {y(t) /(c1-c2)}^2 = 1
つまり楕円になるのは当然

と纏めることを忘れていたので、ごちゃごちゃしてて
わかりにくかっただけみたいです・・。すみません。
あと実数の範囲で同じような振動解の一般解を求めるとき
こんな変な形になったっけ？と。

回答No.1

endlessriver

z=x+iyとして
m(d/dt)(dx/dt) + kx = 0
m(d/dt)(dy/dt) + ky = 0
の２つの方程式を別々に解けばよいのでは？

お礼

そうすると初期条件をどうやって使うかがわからなくなってしまうのです。