微分方程式

質問

問題を解いていて少し疑問に思ったので質問させてください。

u=u(t)を未知関数として
A(du/dt) + B*u = E*sin(ωt)
について、一般解を求め、その後初期条件u(0)=u0のもとで解け。
ただし、A,B,E,ωは正定数とする。

上記のような問題なんですけど、これは一階微分方程式ですよね？
一般解は、二階微分方程式では特性方程式によって求めた基本解と、未定係数法で求めた特殊解を重ね合わせて作るという印象があります。
このような一階微分方程式の場合はどのように解けばいいですか？
二階の時と同じように解いてよいならば、特性方程式の解から基本解を作る時など、二階微分方程式の時と同じようにやってよいものか疑問です。
特殊解も未定係数法もつかってよいのでしょうか。

詳しい方いましたら教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

基本的には同じやり方でいいと思います。
A(du/dt) + B*u =0
の基本解u1は
As+B=0からs=-B/A
u1=Cexp(-(B/A)t),Cは定数

特殊解u2は
u2=Pcos(ωt)＋Qsin(ωt)とおいて元の式に代入して
未定係数法で定数P,Qを決定してやればいいでしょう。
一般解はu=u1+u2
でここに初期条件を入れて、Cを決定してやればいいですね。
お分かりでしょうか？

お礼

やはり二階の時と同じやり方でよいのですね。
無事解くことができました。
ありがとうございました。