An=(1+ 1/n)^n+1がn=1,2,3・・・に対して An+1＜An となることの証明

質問

大学1年の者です。
An=(1+ 1/n)^n+1 とする。
n=1,2,3・・・に対して
An+1＜An
となることの証明が分かりません。
An+1/An＜1
の不等式を導き出そうとしたのですが、うまくいきませんでした。
どのように解いていいのかすら分からないので詳しい解説が聞かせていただけるとありがたいです。

回答No.4

noname#101087

そういえば、下記 An, Bn の間に「分水嶺」があるんでしたね。
　An = {1+(1/n)}^n
　Bn = {1+(1/n)}^(n+1)
An は単調増大、Bn は単調減少。

>　a≠b＞0 なる a, b について、(n*a+b)/(n+1)＞{(a^n)*b}^{1/(n+1)}

・An
　a = 1+(1/n), b=1 として、
　(n*a+b)/(n+1) = (n+2)/(n+1) = 1+{1/(n+1)}＞{1+(1/n)}^[n*{1/(n+1)}]
　i.e.　[1+{1/(n+1)}]^(n+1)＞{1+(1/n)}^n

・Bn
　a = 1-(1/n), b=1 として、
　(n*a+b)/(n+1) = n/(n+1)＞{1-(1/n)}^[n*{1/(n+1)}] = {(n-1)/n)}^[n*{1/(n+1)}]
　{n/(n+1)}^(n+1)＞{(n-1)/n)}^n
　　　　↓　逆数
　{1+(1/n)]^(n+1)＜[1+{1/(n-1)}]^n

回答No.3

naniwacchi

証明の方法としては、いろいろ考えられると思います。
(1)書かれているとおり、A(n+1)/A(n) < 1 を示す。
(2)もっと単純に、A(n)-A(n+1) > 0 を示す。
(3)数学的帰納法を用いて、一般の nについて成り立つことを示す。

入試問題であれば、(3)を使おうとすぐに思いつくのだと思います。
いまの場合ですが、(2)ですんなりと解決します。
少し強引ですが、因数分解してみて下さい。

回答No.2

noname#101087

タイプミス、訂正。
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下記の算術/幾何-平均の不等式を利用するのが楽みたいですね。
　a≠b＞0 なる a, b について、(n*a+b)/(n+1)＞{(a^n)*b}^{1/(n+1)}

回答No.1

noname#101087

A_n = {1+ (1/n)}^(n+1) ですよね。ヒントを一つ。

下記の算術/幾何-平均の不等式を利用するのが楽みたいですね。
　a≠b＞0 なる a, b について、(n*a+b)/(n+1)＞{(a^n)*b}^(n+1)