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はさみうちの原理の証明なんですが^^;

先ほど解説してもらった中で…わからなかったところがあったので、もう一度投稿致しました。 どなたでもよろしいのでぜひ教えて下さい。 [問題]a1=3,a(n+1)=2+√anが成り立つ。このとき0<4-an<1/2(4-a(n-1)) (n=1,2,3,…)が成り立つことを示せ。 【自分の考え】 0<4-anは自分で数学的帰納法を用いて解くことができたのですが,4-1n<1/2(4-a(n-1))のほうを証明することができません。 どなたかよろしくお願いいたします。

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  • naniwacchi
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回答No.1

さっきの続きということで ^^; (右辺)-(左辺)>0を示すことを考えます。 (右辺)-(左辺) = 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- a(n) } = 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- 2- √a(n-1) } = -1/2* a(n-1) + √a(n-1) = 1/2* { 2√a(n-1)- a(n-1)} …(1式) = 1/2* √a(n-1)* { 2- √a(n-1) } …(2式) 実はここが計算のポイントになるところでした。 (1式)の形でもいいのですが、(2式)の形に変形した方がわかりやすいです。 0<√a(n-1)<2であることが示されていれば、(2式)が正であることが示せます。 0<√a(n-1)であることと √a(n-1)<2 ⇒ a(n-1)<4(!)であることがしめされればよいです。

english777
質問者

お礼

ありがとうございました^^ ここの上から下への式変形を = 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- a(n) } = 1/2* { 4- a(n-1) } - { 4- 2- √a(n-1) } anに合わせてしようとしたら 2乗とかでてきて…^^; 本当にありがとうございました^^w

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