下に有界な数列{an}の極限とanの関係の証明

質問

こんにちは。大学学部生1年です。
処理できない問題があるのでご協力いただきたく投稿しました。
なお、今考えている証明を載せておきますので、訂正などしていただけると嬉しいです。（＾＾；

【問】
下に有界な単調減少列{an}について、{an}が極限αを持つならばan≧αを証明せよ。
∵）∃Ｍは実数,∀ｎは自然数;Ｍ≦anとする。
　　また、αが｛an｝の極限であることから、
　　∀ε＞0,∃Ｎは自然数,ｎ≧Ｎ；｜an－α｜＜εが成り立つ。―(1)
　　今、an＜αと仮定すると、｛an｝は単調減少列なので、
　　α＞an≧an+1≧an+2≧…≧Ｍとなる。―(2)
　　(1)より、an＜αのとき、α-an＜ε
　　また、(2)より、α-an＜α-an+1＜α-an+2＜…となり、
　　αが極限であることに矛盾する。
　　よって、an≧α　　　　　　　　　　　　　　　　　　（証終）

なんか変な気がするんですよね・・・
環境依存文字が多かったため、表記が稚拙なところがあります。すみません。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

何か難しく考えすぎていませんか。
あるNについて、α<aNとなるようなαが極限となりえないことを示せばよいのです。
ε-N論法で極限にならないことを示すには、あるεについてn>Nなる全てのnに対して|an-α|>=εであることを示せばよい。

α>aNであるとする。ε=α-aNとおくと、n>Nとなる全てのnについて
α-an>=α-aN=εである。これはαが{an}の極限であることに矛盾する。

以上の内容に少し肉付けをすればよい。

回答No.2

Tacosan

実は中身とは関係なく
「(2)より、α-an＜α-an+1＜α-an+2＜…となり」
は間違ってますね. 不等号の下に等号が必要です.

回答No.1

koko_u_u

>今、an＜αと仮定すると、｛an｝は単調減少列なので、
ここの n と (1) での n が混同されています。

>　(1)より、an＜αのとき、α-an＜ε
ここの εと (1) での εも混同されています。

>なんか変な気がするんですよね・・・
題意が掴めていないためです。