{An}が An>0 lim[n→∞]An=α(0≦α＜1) を満たす

質問

{An}が　An>0 lim[n→∞]An=α(0≦α＜1)　を満たすとき
lim[n→∞]A1A2…Anを証明つきで求めよ

0に収束すると予測できますが証明がわかりません

|b|<1のときlim[n→∞]b=0は既知とします

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

まあ，勘でも何でもいいんだけども
条件を満たすシンプルな数列を作ってみればいいじゃない

自明な例：an = 1/2

{An}がαに収束するってことは
十分大きなNをとれば，
n>N ならば 0<α-ε<An<α+ε<1
ってできるってことだよ．

そうしたら，|A_{N+1}・・・A_n|<|α+ε|^{n-N}
なんだから，あとは「有限個」のA_1，・・・A_Nの最大値をMとでもおけば
不等式評価できるでしょう

|A1A2…An|<M^N|α+ε|^{n-N}

お礼

ありがとうございます!
非常にわかりやすかったです。

補足

ありがとうございます!
非常にわかりやすかったです。

ところで、
lim[n→∞]An=αより
∀ε>0 , ∃N∈N s.t. n>N⇒|An-α|<εだから
このとき
-ε<An-α<ε
α-ε<An<α+εとなりますが

これが0と1で押さえられるのはなぜですか？

回答No.4

alice_44

その「勘」が大切なんですよ。
あとは、勘の内容を自問して、根拠にまで持ってゆける内省かな。

えっと、ナゼそう予想するかっていうと、
An は、ほぼ α みたいなモンだから，
A1A2…An は、ほぼ α^n みたいなモン。
それで、n→∞ とすると～

てな話を、No.2 の形まで整理するには、
多少の慣れが必要ですが。

回答No.3

koko_u_u

>根拠はほぼ勘です…
>強いて言うなら上記の条件ですかね

残念ながら、それは試験でのみ通用するカンですね。

普通、そのように「余計な」記述のある問題はないので
ANo.2 氏のように簡単な例から一般的な場合の証明を展開する数学的カンを身に付ける必要があります。

回答No.1

koko_u_u

>0に収束すると予測できますが証明がわかりません

その予測の根拠を補足にどうぞ。カンとかじゃないよね？

補足

まず、訂正:
誤:|b|<1のときlim[n→∞]b=0は既知とします
正:|b|<1のときlim[n→∞]b^n=0は既知とします

根拠はほぼ勘です…
強いて言うなら上記の条件ですかね