積分の問題

質問

デルタ関数の定義式

δ(p)=(1/2π)∫[-∞,∞]exp(ipx)dx （iは複素数）

を利用して

∫[-∞,∞]sin(px)/x dx

の値を求めよという問題なのですが、どなたか解答を教えてください。

回答No.1

info22_

a>0として
∫[-a,a]δ(p)dp=∫[-a,a]{(1/(2π))∫[-∞,∞] exp(ipx)dx}dp
積分の順序を入れ替えて
=(1/(2π))∫[-∞,∞]{∫[-a,a] exp(ipx)dp}dx
=(1/(2π))∫[-∞,∞]{[exp(ipx)/(ix)][-a,a]}dx
=(1/(2π))∫[-∞,∞]{exp(iax)/(ix)-exp(-iax)/(ix)}dx
=(1/(2π))∫[-∞,∞] (2/x){exp(iax)-exp(-iax)}/(2i) dx
=(1/(2π))∫[-∞,∞] (2/x)sin(ax)dx
=(1/π)∫[-∞,∞] (sin(ax)/x) dx
また
　∫[-a,a]δ(p)dp=1
なので
　∫[-∞,∞] (sin(ax)/x) dx=π
aを改めてpで置き換えれば
　∫[-∞,∞] (sin(px)/x) dx=π
となります。