フーリエ変換（スペクトル解析について）

質問

解き方を教えて下さい。よろしくお願いします。
g(x)={1-|x| (|x|≦1)
0 (|x|>1)
のときスペクトルを求めよ。
答え・・・Sg(ω)= 2(1-cosω)/(πω^2) (ω>0)
1/π (ω = 0)

g(x)のフーリエ変換は
G(u)=2(1-cos u)/u^2
反転公式を適用し

g(x)=1/π∫(0→∞)　2(1-cos ω/ω^2 ) cos ωx dω
角周波数にたいしてcos ωxの成分は2(1-cos ω/ω^2 )
であり求めるスペクトルは

ω>0において　Sg(ω) = 2(1-cosω)/(πω^2)
というところまでは分かるのですが、ω=0の場合は
どのように考えるのでしょうか？単純にω=0を代入すると
分母が0になってしまいます。

同様の問題で、

1 (0≦x<1))
f(x)= -1 (-1<x<0)
0 (|x|≧1)
のフーリエ変換に反転公式を適用して連続スペクトルを出すという問題で、
これは奇関数なので正弦変換を用い、

F(u)=-2i∫(0→1) sin ux dx = 2(cos u -1) i/uとなり
反転公式f(x) = i/π∫(0→∞)　F(u) sin ux duに代入し
f(x) = i/π　∫(0→∞) (2(cos u -1) i/u) sin ux dx
より、スペクトルはSf(ω)= (2i/π) * (cos ω -1) i/ω = - 2(cos ω -1)/(πω)　(ω>1)?
となりましたが、この答えは合っているでしょうか？また、ω＝０の場合のスペクトルの式は
どのようになるのでしょうか？

回答No.1

uyama33 · ベストアンサー

Sg(ω)= 2(1-cosω)/(πω^2) (ω>0)
＝2(1-cos2*(ω/2))/(πω^2)
＝2(1-(cos(ω/2)*cos(ω/2)-sin(ω/2)*sin(ω/2)))/(πω^2)
＝2(2*sin(ω/2)*sin(ω/2)))/(πω^2)
＝2(2*sin(ω/2)*sin(ω/2)))/(4*π(ω/2)^2)
＝(sin(ω/2)*sin(ω/2))/(π(ω/2)^2)

ここで、sin(ω/2)/(ω/2)→1　（ω/2　→　0）

を使ってはいかがでしょうか？

1/π (ω = 0)