[大学教養微積レベル]周期関数の積分の問題を教えてください

質問

以下の問題で全く手がつかず悩んでおります。解き方のアドバイスをお願い致します。特に(2),(3)は何を使えば良いのか全く思いつきません。下に問題と、私が考えた事を書きます。どうか、よろしくお願い致します。
問題:
R上の定数でないC1級関数 f が ω >0 を周期とする周期関数である.

(1) f はR上有界関数である事を示せ
(2)ある定数 C>0 が存在して任意の実数 N>M>0 に対して
|∫_{M to N} f '(x)/x dx| ≦ C/M
が成り立つ事を示し、積分
I=∫_{ω to ∞} f '(x)/x dx
が収束する事を示せ.

(3)
導関数f 'も周期関数となる. これを用いて任意の自然数n に対して
∫_{nω to (n+1)ω} |f '(x)|/x dx ≧ D/{(n+1)ω} , D=∫_{0 to ω} |f '(x)|dx
が成り立つ事を示せ. また積分 I が絶対収束しない事を示せ.

考えた事:
(1)
fはC1級よりfは[0,ω]上有界. よってfの[0,ω]への制限は有界関数.
fは周期ωの周期関数という仮定よりfはR上有界関数.

(2)
|∫_{M to N} f '(x)/x dx| ≦ ∫_{M to N} |f '(x)/x| dx

ここで|f'(x)/x|は何かで上から押さえる事ができないか？
ここで詰まっています. またこれが示せたとしてもI が収束にどのようにつなげるのかよくわかりません.

(3)
どのような方針で進めれば良いのかが分かりません。
∫_{nω to (n+1)ω} |f'(x)|/x dx = ∫_{0 to ω} |f'(x)|/x dx ≧
|∫_{0 to ω} f'(x)/x dx |　???

回答No.1

adinat · ベストアンサー

|∫_{M to N} f '(x)/x dx| ≦ ∫_{M to N} |f '(x)/x| dx
は正しい評価ではありますが、(3)を見ても分かる通り、
これでは下からの評価しか出ません。よってもう少し工夫が必要です。

f(x)は有界ですから、|f(x)|≦Aなる定数Aが取れます。
そして、たとえば部分積分をするとうまくいきます。
∫_{M to N} f '(x)/x dx
　=[f(x)/x]_M^N+∫_{M to N} f (x)/x^2 dx
より、両辺の絶対値を取って、
|∫_{M to N} f '(x)/x dx|
　≦|f(N)|/N+|f(M)|/M+∫_{M to N} |f(x)|/x^2 dx
　≦2A/M+A∫_{M to N} 1/x^2 dx
　≦2A/M+A(1/M-1/N)
　≦3A/M

あとはたとえば積分区間をω→2ω、2ω→2^2ω、2^2ω→2^3ω、…
と分けてそれぞれ計算してみましょう。
各積分を具体的に計算はできないものの、
先ほどの積分の評価から（各項ごとの定積分の級数が）
絶対収束するのは明らかです。

f'も周期ωの連続周期関数です。
f'(x+ω)=lim_{ε→0}{(f(x+ω+ε)-f(x+ω))/ε}
　　　　=lim_{ε→0}{(f(x+ε)-f(x))/ε}
　　　　=f'(x)
だから。さて(3)ですが、nω～(n+1)ωにおいて、
1/xは必ず1/((n+1)ω)よりは大きいですよね。
分母が大きいから値は小さくなるわけです。
そうすると、
∫_{nω to (n+1)ω} |f'(x)|/x dx
≧∫_{nω to (n+1)ω} |f'(x)|/((n+1)ω) dx
です。1/((n+1)ω)は積分に関係ないから外に出して、
あとはf'(x)が周期ωの周期関数に注意すればよいのです。
D≠0だから（周期ω>0だからf(x)≡0ではない）
1/2+1/3+1/4+…→∞に注意すれば、積分が絶対収束しないのも
すぐに分かりますよね。

全体的に、f≦gが成り立つときに、∫f≦∫gも成り立つ、
という定積分の単調性を使っているだけです。
評価する側の被積分関数の一部を定数に変えてしまい
それを積分の外に出すという論法です。
やっていることは非常に当たり前の方法ですので、
落ち着いて考えられるとすっきりすると思いますよ。

それから部分積分というのは大変に強力な道具です。
部分積分様ありがとう、と日々感謝することをお薦めします。
そうするといつの日か、部分積分がきっとあなたを助けてくれます。

お礼

非常に丁寧なご回答ありがとうございます。貴方のご回答をみて計算し直したらすっきりいたしました。最後に、１点だけきになっていることがあります。

(2)の後半ですが,
ある定数Cが存在して
| I | = |∫_{ω to ∞} f '(x)/x dx| ≦ C/ω
これよりI　は収束と書いてもよろしいでしょうか。

回答No.2

adinat

例をあげてみましょう。
f(x)=cos x
という関数を考えます。|f(x)|≦1ですから、
形式的ではありますが、|f(+∞)|≦1です。
かといってlim f(x)が存在するというわけにはいきません。

同様に
|∫_{0 to N}cos x dx|=|sin N|≦1
ですが、かといって、I=∫_{0 to ∞}cos x dxは存在しません。

とにかく、有界というだけでは極限の存在は言えないのです。
したがって、やはり極限が存在するということを
キチンと示す必要があります。

僕が書いた証明はやや回りくどく分かりにくい上、
たぶん収束の証明になっていないので、すこし書き直します。
∫_{ω to ∞}～ が収束することを示すのに、
関数g(x)=∫_{ω to x}～を考えて、lim g(x)の存在を示せばよいです。 x≧yとしましょう。
｜g(x)-g(y)｜≦｜∫_{y to x}～｜≦C/y → 0 (x≧y → ∞)
したがってg(x)は収束します。
要するに数列の収束の証明をするときのように、
コーシー列になっているかどうかを確かめる感じですね。

直感的には、ずいぶんと先の方からの積分はすごく小さい！
ということです。有界というよりははるかに強いことを言っているわけです。

お礼

非常に丁寧なご回答、本当にありがとうございました。とても参考になりました。頂いた、ご回答を参考にしっかり勉強します。