行列についての問題（固有値）

質問

以下の画像の問題です。

これはまともにA^mをまず求めなくてはならないのでしょうか？

計算がすごく大変だったので、もっと簡単にいく方法は無いのかと思い、ここに質問させていただきました。

もしあるようでしたらよろしくお願いします。

回答No.5

Tacosan

おっととと, そうでした＞#4. 今の場合は, ですね.
いずれにしても, 最低限固有ベクトルを求めないといけないのは同じ... かな?

回答No.4

arrysthmia

この問題の A については、
全空間が、固有空間の直和で表されるね。
常に可能な訳ではないけど。

要は、シンプルに
v = P u と置いて、
A~m v (m→∞) の収束条件を
u の条件に翻訳すれば、良いんでしょう？

回答No.3

Tacosan

A^m なんか不要です.
・Ax = λx とおくと A^n x = λ^n x である
・全空間は各固有値に対応する固有空間の直和として表すことができる
ことを使えば簡単... というか, 難しくない.
まあ, 結局は P を求めることになるんですけどね. 賢くいけばもっと単純になりますが, 上のことが理解できていればすぐわかるはず.

回答No.2

arrysthmia

lim A~m が収束しないので、
(lim A~m) v = 0 じゃなく
lim(A~m v) = 0 であること
が、ポイントかなぁ。

P から求めてゆくのは、
同じだけど。

回答No.1

rabbit_cat

そうですね。いろいろ方針は考えられるとは思いますが。
せっかくＡの固有ベクトルを出しておいてくれているので（しかも３つの固有値が異なる）、
Ａ＝Ｐ・Λ・Ｐi
Λは、(1,1)成分がλ1, (2,2)成分がλ2，(3,3)成分がλ3で残りは０の行列、
Ｐは固有（縦）ベクトルを並べた行列
ＰiはＰの逆行列
と書けば、
A^m = P・Λ^m・Pi なんで、
A^m・v = P・Λ^m・Pi・v → 0
となるんで、P，Piは正則行列ってことを考えると、
lim_{m→∞} Λ^m・u → 0
となるようなu を求めて
u = Pi・v
より、
v = P・u
ていうのが、求めるvになりますね。

というわけで実際に計算する必要があるのは、
・Ａの固有ベクトルＰ
・lim_{m→∞} Λ^m・u → 0となるようなベクトルu
の２つだけですみます。