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行列の問題（固有値）についてです
- 行列の問題（固有値）を解く方法を説明します
- 固有値を求める手順と固有ベクトルを求める方法について教えてください
- 行列Bの固有値と固有ベクトルを求める方法について分かりません
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B= [０００ａｂｂ] [０００ｂａｂ] [０００ｂｂａ] [ａｂｂ０００] [ｂａｂ０００] [ｂｂａ０００] E= [１０００００] [０１００００] [００１０００] [０００１００] [００００１０] [０００００１] A= [ａｂｂ] [ｂａｂ] [ｂｂａ] U= [１００] [０１０] [００１] としBの固有値をsとすると 0= |B-sE| = |-sU A| | A -sU| = |-sU A| |A-sU A-sU| = |-sU-A A| | 0 A-sU| = |sU+A||sU-A| であるから sはBの固有値⇄ 0=|B-sE|⇄ |sU+A|=0 or |sU-A|=0⇄ s=a-b(重解) or s=-(a-b)(重解) or s=a+2b or s=-(a+2b) ------------------------------------------------------------ x,y,z,u,v,wを複素数として p= [x] [y] [z] [u] [v] [w] p'= [w] [v] [u] [z] [y] [x] とすると p+p'= [x+w] [y+v] [z+u] [u+z] [v+y] [w+x] p-p'= [x-w] [y-v] [z-u] [u-z] [v-y] [w-x] (B-sE)p=0 (1) の式について 6行目を1行目に5行目を2行目に・・・1行目を6行目に 並び替え 各式の左辺の項を逆に並び替えると (B-sE)p'=0 (2) (1)+(2)から (B-sE)(p+p')=0 (3) (1)-(2)から (B-sE)(p-p')=0 (4) ((3)+(4))/2は(1)に等しいから (B-sE)p=0⇄(B-sE)(p+p')=0 and (B-sE)(p-p')=0 一方 q= [x+w] [y+v] [z+u] r= [x-w] [y-v] [z-u] C= [b b a] [b a b] [a b b] とすると (B-sE)(p+p')=0⇄(C-sU)q=0 （下の3つの式は上の3つの式と同じなので削除し各式の項をまとめた） (B+sE)(p-p')=0⇄(C+sU)r=0 （同上） 従って pはBの固有値sに対するBの固有ベクトル⇄ (B-sE)p=0⇄ (B-sE)(p+p')=0 and (B-sE)(p-p')=0⇄ (C-sU)q=0 and (C+sU)r=0 (*) q'= [z+u] [y+v] [x+w] r'= [z-u] [y-v] [x-w] とすると p= [ (q+r)/2] [(q'-r')/2] であるから(*)を解くことによりpが求まる もしケアレスミスがあれば補則にその修正を書いてください できれば(*)を解いて補則に書いてください
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- reiman
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ケアレスミス修正(or→and) ついでに少し丁寧に B= [０００ａｂｂ] [０００ｂａｂ] [０００ｂｂａ] [ａｂｂ０００] [ｂａｂ０００] [ｂｂａ０００] E= [１０００００] [０１００００] [００１０００] [０００１００] [００００１０] [０００００１] A= [ａｂｂ] [ｂａｂ] [ｂｂａ] U= [１００] [０１０] [００１] としBの固有値をsとすると 0= |B-sE| = |-sU A| | A -sU| = |-sU A| |A-sU A-sU| = |-sU-A A| | 0 A-sU| = |sU+A||sU-A| よって sはBの固有値⇄ 0=|B-sE|⇄ |sU+A|=0 or |sU-A|=0⇄ s=a-b(重解) or s=-(a-b)(重解) or s=a+2b or s=-(a+2b) x,y,z,u,v,wを複素数として p= [x] [y] [z] [u] [v] [w] q= [x+w] [y+v] [z+u] r= [x-w] [y-v] [z-u] C= [b b a] [b a b] [a b b] とすると (B-sE)p=0の1行目と6行目の加算 (B-sE)p=0の2行目と5行目の加算 (B-sE)p=0の3行目と4行目の加算 をしてできる方程式と (B-sE)p=0の1行目と6行目の減算 (B-sE)p=0の2行目と5行目の減算 (B-sE)p=0の3行目と4行目の減算 をしてできる方程式を考えて pはBの固有値sに対するBの固有ベクトル⇄ (B-sE)p=0⇄ (C-sU)q=0 and (C+sU)r=0 q'= [z+u] [y+v] [x+w] r'= [z-u] [y-v] [x-w] とすると p= [ (q+r)/2] [(q'-r')/2] 書きにくいのでまだ多分ケアレスミスあり
お礼
わざわざ訂正までしてくださいましてありがとうございます。行列に関しては１と６、２と５、３と４行目の加減算によってうまく整理されるのですね。 しかし、その加減算以降の計算説明がいまいち理解できませんでした。 １行目と６行目を足すとは１行目にも６行目にも互いの行列を足しあうのですか？ 書かれた通り解いたつもりなのですが、６×６行列を３×３行列に分解して固有ベクトルを求めるというところにまで行き着きませんでした。 もしよろしければ、特に行列の加減算からの変形について詳しく教えていただけませんでしょうか。よろしくお願いいたします。
- reiman
- ベストアンサー率62% (102/163)
B= [０００ａｂｂ] [０００ｂａｂ] [０００ｂｂａ] [ａｂｂ０００] [ｂａｂ０００] [ｂｂａ０００] E= [１０００００] [０１００００] [００１０００] [０００１００] [００００１０] [０００００１] A= [ａｂｂ] [ｂａｂ] [ｂｂａ] U= [１００] [０１０] [００１] としBの固有値をsとすると 0= |B-sE| = |-sU A| | A -sU| = |-sU-A A| | 0 A-sU| = |sU+A||sU-A| よって sはBの固有値⇄ 0=|B-sE|⇄ |sU+A|=0 or |sU-A|=0⇄ s=a-b(重解) or s=-(a-b)(重解) or s=a+2b or s=-(a+2b) x,y,z,u,v,wを複素数として p= [x] [y] [z] [u] [v] [w] q= [x+w] [y+v] [z+u] r= [x-w] [y-v] [z-u] C= [b b a] [b a b] [a b b] とすると pはBの固有値sに対するBの固有ベクトル⇄ (B-sE)p=0⇄ (C-sU)q=0 or (C+sU)r=0 q'= [z+u] [y+v] [x+w] r'= [z-u] [y-v] [x-w] とすると p= [ (q+r)/2] [(q'-r')/2] 書きにくいので多分ケアレスミスあり
お礼
ありがとうございます。
- satuchiko
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答えだけで良いなら、参考URLのところで、 Eigenvalues[{{0,0,0,a,b,b}, {0,0,0,b,a,b}, {0,0,0,b,b,a}, {a,b,b,0,0,0}, {b,a,b,0,0,0}, {b,b,a,0,0,0}}] と入れてください。 固有値はあってます。 固有ベクトルは v1=(-1,-1,-1,1,1,1) v2=(-1,0,1,-1,0,1) v3=(-1,1,0,-1,1,0) v4=(1,0,-1,-1,0,1) v5=(1,-1,0,-1,1,0) v6=(1,1,1,1,1,1) です。 私なら、地道にやりますね。器用な方法を思いつけるほど頭が良くないんでｗ
- 参考URL：
- http://www.wolframalpha.com/
お礼
このサイトすごいですね！ 具体的な値があるものなら数値計算でどうにか結果が出せるんですけど、このようなaとかｂとかって時はどうしていいか困ってました。これから活用させていただきます！とりあえず、固有値があっててよかったです。 回答ありがとうございました。
お礼
お返事遅れてすみません。 再び、詳しくご説明ありがとうございます。同じ式があるから下半分は無視できるっていうのがポイントですね。 説明をきちんと理解して実際説いたのですが、♯1さんのような固有ベクトルがどうしても出てこなかったです。。すみません。 しかし、解法の原理が分かったので自分としては満足です。何度もご丁寧に回答していただき、ありがとうございました。