[行列]固有値分解

質問

A(m*n),rankA=rに対して
M=A*A転置
N=A転置*A
と定義するとき、M,Nの零でない固有値が一致することを示せ。
また、M,Nのそれぞれの固有ベクトルの関係について説明せよ。

という問題で、私は最初M,Nそれぞれに対してAX=ΛXの方程式を
立てて連立で解こうと思ったのですが、できませんでした。
わかる方、ぜひお願いします＞＜；

回答No.2

mtaka_2007

No.1です。参考URLのテキストを参照すれば、任意の行列Aは、特異値分解されて、A=U*Σ*V（転置）となります。Uはm次直交行列、Vはn次直交行列です。M=A*A（転置）、N=A（転置）*Aとすれば、MはUにより対角化され、NはVにより対角化され、その対角成分は、Σの対角成分の自乗ですので、一致します。
Mの固有ベクトルはUの列ベクトルであり、Nの固有ベクトルはVの列ベクトル。UとVの転置により、Aは対角成分だけの行列となる。

参考URL：

www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/singularvalue050129.pdf

回答No.1

mtaka_2007

誰からもレスがないようですので、一言。簡単にできるように思いましたが、初歩的な問題ではないようです。Aは正方行列ではないので、普通の固有値を求める方法ではできません。これはsingular value decompositionというテクニックで、普通の固有値問題も含まれます。上の単語で検索すば、wikipediaに説明があります。上級レベルと思います。